MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsinv2 Structured version   Unicode version

Theorem lmodvsinv2 17819
Description: Multiplying a negated vector by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsinv2.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lmodvsinv2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvsinv2.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvsinv2.n  |-  N  =  ( invg `  W )
lmodvsinv2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
lmodvsinv2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsinv2
StepHypRef Expression
1 simp1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 17655 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  W  e.  Grp )
4 simp3 996 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
5 lmodvsinv2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2396 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2396 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
8 lmodvsinv2.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  W )
95, 6, 7, 8grprinv 16237 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  W ) ( N `
 X ) )  =  ( 0g `  W ) )
103, 4, 9syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( N `  X ) )  =  ( 0g `  W
) )
1110oveq2d 6234 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( N `  X
) ) )  =  ( R  .x.  ( 0g `  W ) ) )
12 simp2 995 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  K )
135, 8grpinvcl 16235 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
143, 4, 13syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X )  e.  B )
15 lmodvsinv2.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
16 lmodvsinv2.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 lmodvsinv2.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
185, 6, 15, 16, 17lmodvsdi 17671 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( N `  X ) ) )  =  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) ) )
191, 12, 4, 14, 18syl13anc 1228 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( N `  X
) ) )  =  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( R 
.x.  ( N `  X ) ) ) )
2015, 16, 17, 7lmodvs0 17682 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
211, 12, 20syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
2211, 19, 213eqtr3d 2445 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( R  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( R  .x.  ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  W ) )
235, 15, 16, 17lmodvscl 17665 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  X )  e.  B )
245, 15, 16, 17lmodvscl 17665 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  ( N `  X )  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )
251, 12, 14, 24syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )
265, 6, 7, 8grpinvid1 16238 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( R  .x.  X )  e.  B  /\  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )  ->  (
( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X ) )  <->  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  W ) ) )
273, 23, 25, 26syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X ) )  <->  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  W ) ) )
2822, 27mpbird 232 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X )
) )
2928eqcomd 2404 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   Basecbs 14657   +g cplusg 14725  Scalarcsca 14728   .scvsca 14729   0gc0g 14870   Grpcgrp 16193   invgcminusg 16194   LModclmod 17648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-plusg 14738  df-0g 14872  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-mgp 17278  df-ring 17336  df-lmod 17650
This theorem is referenced by:  invlmhm  17824
  Copyright terms: Public domain W3C validator