MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsinv2 Structured version   Unicode version

Theorem lmodvsinv2 17133
Description: Multiplying a negated vector by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsinv2.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lmodvsinv2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvsinv2.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvsinv2.n  |-  N  =  ( invg `  W )
lmodvsinv2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
lmodvsinv2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsinv2
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 16970 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  W  e.  Grp )
4 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
5 lmodvsinv2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
8 lmodvsinv2.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  W )
95, 6, 7, 8grprinv 15600 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  W ) ( N `
 X ) )  =  ( 0g `  W ) )
103, 4, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( N `  X ) )  =  ( 0g `  W
) )
1110oveq2d 6122 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( N `  X
) ) )  =  ( R  .x.  ( 0g `  W ) ) )
12 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  K )
135, 8grpinvcl 15598 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
143, 4, 13syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X )  e.  B )
15 lmodvsinv2.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
16 lmodvsinv2.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 lmodvsinv2.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
185, 6, 15, 16, 17lmodvsdi 16986 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( N `  X ) ) )  =  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) ) )
191, 12, 4, 14, 18syl13anc 1220 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( N `  X
) ) )  =  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( R 
.x.  ( N `  X ) ) ) )
2015, 16, 17, 7lmodvs0 16997 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
211, 12, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
2211, 19, 213eqtr3d 2483 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( R  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( R  .x.  ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  W ) )
235, 15, 16, 17lmodvscl 16980 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  X )  e.  B )
245, 15, 16, 17lmodvscl 16980 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  ( N `  X )  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )
251, 12, 14, 24syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )
265, 6, 7, 8grpinvid1 15601 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( R  .x.  X )  e.  B  /\  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )  ->  (
( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X ) )  <->  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  W ) ) )
273, 23, 25, 26syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X ) )  <->  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  W ) ) )
2822, 27mpbird 232 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X )
) )
2928eqcomd 2448 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   +g cplusg 14253  Scalarcsca 14256   .scvsca 14257   0gc0g 14393   Grpcgrp 15425   invgcminusg 15426   LModclmod 16963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-plusg 14266  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-mgp 16607  df-rng 16662  df-lmod 16965
This theorem is referenced by:  invlmhm  17138
  Copyright terms: Public domain W3C validator