MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsinv2 Structured version   Unicode version

Theorem lmodvsinv2 17096
Description: Multiplying a negated vector by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsinv2.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lmodvsinv2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvsinv2.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvsinv2.n  |-  N  =  ( invg `  W )
lmodvsinv2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
lmodvsinv2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsinv2
StepHypRef Expression
1 simp1 983 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 16935 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  W  e.  Grp )
4 simp3 985 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
5 lmodvsinv2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
8 lmodvsinv2.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  W )
95, 6, 7, 8grprinv 15578 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  W ) ( N `
 X ) )  =  ( 0g `  W ) )
103, 4, 9syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( N `  X ) )  =  ( 0g `  W
) )
1110oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( N `  X
) ) )  =  ( R  .x.  ( 0g `  W ) ) )
12 simp2 984 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  K )
135, 8grpinvcl 15576 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
143, 4, 13syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X )  e.  B )
15 lmodvsinv2.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
16 lmodvsinv2.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 lmodvsinv2.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
185, 6, 15, 16, 17lmodvsdi 16951 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( N `  X ) ) )  =  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) ) )
191, 12, 4, 14, 18syl13anc 1215 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( N `  X
) ) )  =  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( R 
.x.  ( N `  X ) ) ) )
2015, 16, 17, 7lmodvs0 16962 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
211, 12, 20syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
2211, 19, 213eqtr3d 2481 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( R  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( R  .x.  ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  W ) )
235, 15, 16, 17lmodvscl 16945 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  X )  e.  B )
245, 15, 16, 17lmodvscl 16945 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  ( N `  X )  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )
251, 12, 14, 24syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )
265, 6, 7, 8grpinvid1 15579 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( R  .x.  X )  e.  B  /\  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )  ->  (
( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X ) )  <->  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  W ) ) )
273, 23, 25, 26syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X ) )  <->  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  W ) ) )
2822, 27mpbird 232 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X )
) )
2928eqcomd 2446 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   LModclmod 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mgp 16582  df-rng 16637  df-lmod 16930
This theorem is referenced by:  invlmhm  17101
  Copyright terms: Public domain W3C validator