MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit3 18882
Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
2 eqid 2610 . 2 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
3 eqid 2610 . 2 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
4 eqid 2610 . 2 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
5 eqid 2610 . 2 (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
6 eqid 2610 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
7 simp1 1054 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8 simp2 1055 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
9 pwssplit1.y . . . 4 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
109pwslmod 18791 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 ∈ LMod)
117, 8, 10syl2anc 691 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 ∈ LMod)
12 simp3 1056 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
138, 12ssexd 4733 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
14 pwssplit1.z . . . 4 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
1514pwslmod 18791 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
167, 13, 15syl2anc 691 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 ∈ LMod)
17 eqid 2610 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
1814, 17pwssca 15979 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
197, 13, 18syl2anc 691 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
209, 17pwssca 15979 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
217, 8, 20syl2anc 691 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
2219, 21eqtr3d 2646 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑌))
23 lmodgrp 18693 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
24 pwssplit1.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑍)
25 pwssplit1.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
269, 14, 1, 24, 25pwssplit2 18881 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
2723, 26syl3an1 1351 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
28 snex 4835 . . . . . . . 8 {𝑎} ∈ V
29 xpexg 6858 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑋 ∧ {𝑎} ∈ V) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
308, 28, 29sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
31 vex 3176 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
32 offres 7054 . . . . . . 7 (((𝑈 × {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
3330, 31, 32sylancl 693 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
3433adantr 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
35 xpssres 5354 . . . . . . . 8 (𝑉𝑈 → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
36353ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
3736adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
3837oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
3934, 38eqtrd 2644 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
40 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
41 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42 simpl1 1057 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
43 simpl2 1058 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑈𝑋)
4421fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
4544eleq2d 2673 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))))
4645biimpar 501 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4746adantrr 749 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48 simprr 792 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
499, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48pwsvscafval 15977 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) = ((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏))
5049reseq1d 5316 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
5125fvtresfn 6193 . . . . . 6 (𝑏𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
5251ad2antll 761 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
5352oveq2d 6565 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
5439, 50, 533eqtr4d 2654 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑏)))
551, 4, 2, 6lmodvscl 18703 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
56553expb 1258 . . . . 5 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
5711, 56sylan 487 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
5825fvtresfn 6193 . . . 4 ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
5957, 58syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
6013adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
619, 14, 1, 24, 25pwssplit0 18879 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
6261ffvelrnda 6267 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
6362adantrl 748 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
6414, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63pwsvscafval 15977 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑍)(𝐹𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑏)))
6554, 59, 643eqtr4d 2654 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑍)(𝐹𝑏)))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65islmhmd 18860 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540  {csn 4125  cmpt 4643   × cxp 5036  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  s cpws 15930  Grpcgrp 17245   GrpHom cghm 17480  LModclmod 18686   LMHom clmhm 18840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lmhm 18843
This theorem is referenced by:  frlmsplit2  19931  pwssplit4  36677  pwslnmlem2  36681
  Copyright terms: Public domain W3C validator