Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxnm 22987
 Description: The norm of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxnm (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem rrxnm
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recrng 19786 . . . . 5 fld ∈ *-Ring
2 srngring 18675 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
4 eqid 2610 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
54frlmlmod 19912 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
63, 5mpan 702 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
7 lmodgrp 18693 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
8 eqid 2610 . . . 4 (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
9 eqid 2610 . . . 4 (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 eqid 2610 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
128, 9, 10, 11tchnmfval 22835 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
136, 7, 123syl 18 . 2 (𝐼𝑉 → (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
14 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
1514rrxval 22983 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1615fveq2d 6107 . 2 (𝐼𝑉 → (norm‘𝐻) = (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1715fveq2d 6107 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
18 rrxbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
198, 10tchbas 22826 . . . 4 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2017, 18, 193eqtr4g 2669 . . 3 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2114, 18rrxbase 22984 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0})
22 ssrab2 3650 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼)
2321, 22syl6eqss 3618 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
2423sselda 3568 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
2515fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (·𝑖𝐻) = (·𝑖‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2614, 18rrxip 22986 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → ( ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝐻))
278, 11tchip 22832 . . . . . . . . . 10 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2925, 26, 283eqtr4rd 2655 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))))
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))))
31 simprl 790 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → = 𝑓)
3231fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑥) = (𝑓𝑥))
33 simprr 792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → 𝑔 = 𝑓)
3433fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑔𝑥) = (𝑓𝑥))
3532, 34oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
37 elmapi 7765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
3938ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
4039recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
4140adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
4241sqvald 12867 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)↑2) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
4336, 42eqtr4d 2647 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑2))
4443mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2)))
4544oveq2d 6565 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
46 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
47 ovex 6577 . . . . . . . 8 (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) ∈ V)
4930, 45, 46, 46, 48ovmpt2d 6686 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
5024, 49syldan 486 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
5150eqcomd 2616 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) = (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
5251fveq2d 6107 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2)))) = (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓)))
5320, 52mpteq12dva 4662 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
5413, 16, 533eqtr4rd 2655 1 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑𝑚 cmap 7744   finSupp cfsupp 8158  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  2c2 10947  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  Basecbs 15695  ·𝑖cip 15773   Σg cgsu 15924  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370  *-Ringcsr 18667  LModclmod 18686  ℝfldcrefld 19769   freeLMod cfrlm 19909  normcnm 22191  toℂHilctch 22775  ℝ^crrx 22979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-nm 22197  df-tng 22199  df-tch 22777  df-rrx 22981 This theorem is referenced by:  rrxds  22989
 Copyright terms: Public domain W3C validator