Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchnmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchnmfval 22835
 Description: The norm of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
tchnmval.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
tchnmval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tchnmval.h , = (·𝑖𝑊)
Assertion
Ref Expression
tchnmfval (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem tchnmfval
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
2 fvrn0 6126 . . . . 5 (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
32a1i 11 . . . 4 (𝑥𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
41, 3fmpti 6291 . . 3 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
5 tchval.n . . . . 5 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
6 tchnmval.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 tchnmval.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
85, 6, 7tchval 22825 . . . 4 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
9 cnex 9896 . . . . . 6 ℂ ∈ V
10 sqrtf 13951 . . . . . . 7 √:ℂ⟶ℂ
11 frn 5966 . . . . . . 7 (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 ran √ ⊆ ℂ
139, 12ssexi 4731 . . . . 5 ran √ ∈ V
14 p0ex 4779 . . . . 5 {∅} ∈ V
1513, 14unex 6854 . . . 4 (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
168, 6, 15tngnm 22265 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})) → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
174, 16mpan2 703 . 2 (𝑊 ∈ Grp → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
18 tchnmval.n . 2 𝑁 = (norm‘𝐺)
1917, 18syl6reqr 2663 1 (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  √csqrt 13821  Basecbs 15695  ·𝑖cip 15773  Grpcgrp 17245  normcnm 22191  toℂHilctch 22775 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-ds 15791  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-nm 22197  df-tng 22199  df-tch 22777 This theorem is referenced by:  tchnmval  22836  cphtchnm  22837  tchds  22838  rrxnm  22987
 Copyright terms: Public domain W3C validator