Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxnm Structured version   Unicode version

Theorem rrxnm 21586
 Description: The norm of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r ℝ^
rrxbase.b
Assertion
Ref Expression
rrxnm RRfld g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem rrxnm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recrng 18452 . . . . 5 RRfld
2 srngrng 17301 . . . . 5 RRfld RRfld
31, 2ax-mp 5 . . . 4 RRfld
4 eqid 2467 . . . . 5 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
54frlmlmod 18575 . . . 4 RRfld RRfld freeLMod
63, 5mpan 670 . . 3 RRfld freeLMod
7 lmodgrp 17319 . . 3 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
8 eqid 2467 . . . 4 toCHilRRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
9 eqid 2467 . . . 4 toCHilRRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
10 eqid 2467 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
11 eqid 2467 . . . 4 RRfld freeLMod RRfld freeLMod
128, 9, 10, 11tchnmfval 21434 . . 3 RRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod
136, 7, 123syl 20 . 2 toCHilRRfld freeLMod RRfld freeLMod RRfld freeLMod
14 rrxval.r . . . 4 ℝ^
1514rrxval 21582 . . 3 toCHilRRfld freeLMod
1615fveq2d 5870 . 2 toCHilRRfld freeLMod
17 rrxbase.b . . . 4
1815fveq2d 5870 . . . . 5 toCHilRRfld freeLMod
198, 10tchbas 21425 . . . . 5 RRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
2018, 19syl6eqr 2526 . . . 4 RRfld freeLMod
2117, 20syl5eq 2520 . . 3 RRfld freeLMod
2214, 17rrxbase 21583 . . . . . . . 8 finSupp
23 ssrab2 3585 . . . . . . . 8 finSupp
2422, 23syl6eqss 3554 . . . . . . 7
2524sselda 3504 . . . . . 6
2615fveq2d 5870 . . . . . . . . 9 toCHilRRfld freeLMod
2714, 17rrxip 21585 . . . . . . . . 9 RRfld g
288, 11tchip 21431 . . . . . . . . . 10 RRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
2928a1i 11 . . . . . . . . 9 RRfld freeLMod toCHilRRfld freeLMod
3026, 27, 293eqtr4rd 2519 . . . . . . . 8 RRfld freeLMod RRfld g
3130adantr 465 . . . . . . 7 RRfld freeLMod RRfld g
32 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13
3332fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . 12
34 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13
3534fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . 12
3633, 35oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11
3736adantr 465 . . . . . . . . . 10
38 elmapi 7440 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
4039ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . 13
4140recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12
4241adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
4342sqvald 12275 . . . . . . . . . 10
4437, 43eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9
4544mpteq2dva 4533 . . . . . . . 8
4645oveq2d 6300 . . . . . . 7 RRfld g RRfld g
47 simpr 461 . . . . . . 7
48 ovex 6309 . . . . . . . 8 RRfld g
4948a1i 11 . . . . . . 7 RRfld g
5031, 46, 47, 47, 49ovmpt2d 6414 . . . . . 6 RRfld freeLMod RRfld g
5125, 50syldan 470 . . . . 5 RRfld freeLMod RRfld g
5251eqcomd 2475 . . . 4 RRfld g RRfld freeLMod
5352fveq2d 5870 . . 3 RRfld g RRfld freeLMod
5421, 53mpteq12dva 4524 . 2 RRfld g RRfld freeLMod RRfld freeLMod
5513, 16, 543eqtr4rd 2519 1 RRfld g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  crab 2818  cvv 3113   class class class wbr 4447   cmpt 4505  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286   cmap 7420   finSupp cfsupp 7829  cc 9490  cr 9491  cc0 9492   cmul 9497  c2 10585  cexp 12134  csqrt 13029  cbs 14490  cip 14560   g cgsu 14696  cgrp 15727  crg 17000  csr 17293  clmod 17312  RRfldcrefld 18435   freeLMod cfrlm 18572  cnm 20860  toCHilctch 21377  ℝ^crrx 21578 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cmn 16606  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-rnghom 17165  df-drng 17198  df-field 17199  df-subrg 17227  df-staf 17294  df-srng 17295  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-cnfld 18220  df-refld 18436  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-nm 20866  df-tng 20868  df-tch 21379  df-rrx 21580 This theorem is referenced by:  rrxds  21588
 Copyright terms: Public domain W3C validator