Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjthlem2 23017
 Description: Lemma for pjth 23018. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjthlem.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
pjthlem.p + = (+g𝑊)
pjthlem.m = (-g𝑊)
pjthlem.h , = (·𝑖𝑊)
pjthlem.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjthlem.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
pjthlem.2 (𝜑𝑈𝐿)
pjthlem.4 (𝜑𝐴𝑉)
pjthlem.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjthlem.s = (LSSum‘𝑊)
pjthlem.o 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjthlem.3 (𝜑𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
pjthlem2 (𝜑𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))

Proof of Theorem pjthlem2
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjthlem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 pjthlem.m . . . 4 = (-g𝑊)
3 pjthlem.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
4 pjthlem.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
5 hlcph 22968 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
7 pjthlem.2 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐿)
8 pjthlem.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8syl6eleq 2698 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10 pjthlem.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
11 hlcms 22970 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ CMetSp)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ CMetSp)
131, 8lssss 18758 . . . . . . 7 (𝑈𝐿𝑈𝑉)
147, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
15 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑈) = (𝑊s 𝑈)
16 pjthlem.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
1715, 1, 16cmsss 22955 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1812, 14, 17syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1910, 18mpbird 246 . . . 4 (𝜑 → (𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp)
20 pjthlem.4 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
211, 2, 3, 6, 9, 19, 20minvec 23015 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
22 reurex 3137 . . 3 (∃!𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ∃𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2321, 22syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
246adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
25 cphlmod 22782 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ LMod)
27 lmodabl 18733 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ Abel)
297adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈𝐿)
3029, 13syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈𝑉)
31 simprl 790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑥𝑈)
3230, 31sseldd 3569 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑥𝑉)
3320adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐴𝑉)
34 pjthlem.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
351, 34, 2ablpncan3 18045 . . . 4 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑥𝑉𝐴𝑉)) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
3628, 32, 33, 35syl12anc 1316 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
378lsssssubg 18779 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3826, 37syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3938, 29sseldd 3569 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
40 cphphl 22779 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
4124, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ PreHil)
42 pjthlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (ocv‘𝑊)
431, 42, 8ocvlss 19835 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑉) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
4441, 30, 43syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
4538, 44sseldd 3569 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑂𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
461, 2lmodvsubcl 18731 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝑥𝑉) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
4726, 33, 32, 46syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
48 pjthlem.h . . . . . . . 8 , = (·𝑖𝑊)
494ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂHil)
5029adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈𝐿)
5147adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
52 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
5326adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5429adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑈𝐿)
55 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑤𝑈)
5631adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑥𝑈)
5734, 8lssvacl 18775 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑤𝑈𝑥𝑈)) → (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈)
5853, 54, 55, 56, 57syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈)
59 simplrr 797 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
60 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → (𝐴 𝑦) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
6160fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
6261breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥)))))
6362rspcv 3278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈 → (∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥)))))
6458, 59, 63sylc 63 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
65 lmodgrp 18693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
6626, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ Grp)
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6833adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝐴𝑉)
6932adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑥𝑉)
7030sselda 3568 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑤𝑉)
711, 34, 2grpsubsub4 17331 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝐴𝑉𝑥𝑉𝑤𝑉)) → ((𝐴 𝑥) 𝑤) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
7267, 68, 69, 70, 71syl13anc 1320 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → ((𝐴 𝑥) 𝑤) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
7372fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
7464, 73breqtrrd 4611 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
7574ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → ∀𝑤𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
7675adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ∀𝑤𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
77 eqid 2610 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑥) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1)) = (((𝐴 𝑥) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1))
781, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 76, 77pjthlem1 23016 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = 0)
7924adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
80 cphclm 22797 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂMod)
82 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8382clm0 22680 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8481, 83syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8578, 84eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8685ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → ∀𝑧𝑈 ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
87 eqid 2610 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
881, 48, 82, 87, 42elocv 19831 . . . . 5 ((𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈) ↔ (𝑈𝑉 ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑈 ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
8930, 47, 86, 88syl3anbrc 1239 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈))
90 pjthlem.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
9134, 90lsmelvali 17888 . . . 4 (((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑂𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑈 ∧ (𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9239, 45, 31, 89, 91syl22anc 1319 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9336, 92eqeltrrd 2689 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9423, 93rexlimddv 3017 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771  ·𝑖cip 15773  TopOpenctopn 15905  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872  Abelcabl 18017  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  PreHilcphl 19788  ocvcocv 19823  Clsdccld 20630  normcnm 22191  ℂModcclm 22670  ℂPreHilccph 22774  CMetSpccms 22937  ℂHilchl 22939 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-phl 19790  df-ocv 19826  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-flim 21553  df-fcls 21555  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nlm 22201  df-cncf 22489  df-clm 22671  df-cph 22776  df-cfil 22861  df-cmet 22863  df-cms 22940  df-bn 22941  df-hl 22942 This theorem is referenced by:  pjth  23018
 Copyright terms: Public domain W3C validator