MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmsss 22955
Description: The restriction of a complete metric space is complete iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmsss.h 𝐾 = (𝑀s 𝐴)
cmsss.x 𝑋 = (Base‘𝑀)
cmsss.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cmsss ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem cmsss
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
2 xpss12 5148 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
31, 2sylancom 698 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
43resabs1d 5348 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
5 cmsss.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝑀)
6 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑀) ∈ V
75, 6eqeltri 2684 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ V
87ssex 4730 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
98adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
10 cmsss.h . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑀s 𝐴)
11 eqid 2610 . . . . . . . 8 (dist‘𝑀) = (dist‘𝑀)
1210, 11ressds 15896 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
139, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
1410, 5ressbas2 15758 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐴 = (Base‘𝐾))
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
1615sqxpeqd 5065 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 × 𝐴) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
1713, 16reseq12d 5318 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
184, 17eqtrd 2644 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
1915fveq2d 6107 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (CMet‘𝐴) = (CMet‘(Base‘𝐾)))
2018, 19eleq12d 2682 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
21 eqid 2610 . . . . . 6 ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))
225, 21cmscmet 22951 . . . . 5 (𝑀 ∈ CMetSp → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋))
2322adantr 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋))
24 eqid 2610 . . . . 5 (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
2524cmetss 22921 . . . 4 (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
2623, 25syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
2720, 26bitr3d 269 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
28 cmsms 22953 . . . 4 (𝑀 ∈ CMetSp → 𝑀 ∈ MetSp)
29 ressms 22141 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑀s 𝐴) ∈ MetSp)
3010, 29syl5eqel 2692 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐾 ∈ MetSp)
3128, 8, 30syl2an 493 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)
32 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
33 eqid 2610 . . . . 5 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
3432, 33iscms 22950 . . . 4 (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
3534baib 942 . . 3 (𝐾 ∈ MetSp → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
3631, 35syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
3728adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑀 ∈ MetSp)
38 cmsss.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
3938, 5, 21mstopn 22067 . . . . 5 (𝑀 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
4037, 39syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
4140fveq2d 6107 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
4241eleq2d 2673 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
4327, 36, 423bitr4d 299 1 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540   × cxp 5036  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  s cress 15696  distcds 15777  TopOpenctopn 15905  MetOpencmopn 19557  Clsdccld 20630  MetSpcmt 21933  CMetcms 22860  CMetSpccms 22937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-tset 15787  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-haus 20929  df-fil 21460  df-flim 21553  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cfil 22861  df-cmet 22863  df-cms 22940
This theorem is referenced by:  lssbn  22956  resscdrg  22962  srabn  22964  ishl2  22974  recms  22976  pjthlem2  23017
  Copyright terms: Public domain W3C validator