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Theorem pjthlem2 21979
Description: Lemma for pjth 21980. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjthlem.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
pjthlem.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
pjthlem.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
pjthlem.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
pjthlem.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjthlem.1  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
pjthlem.2  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pjthlem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pjthlem.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
pjthlem.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjthlem.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
pjthlem.3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
pjthlem2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )

Proof of Theorem pjthlem2
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjthlem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 pjthlem.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
3 pjthlem.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  W
)
4 pjthlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
5 hlcph 21930 . . . . 5  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
7 pjthlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
8 pjthlem.l . . . . 5  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
97, 8syl6eleq 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
10 pjthlem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
11 hlcms 21932 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. CMetSp
)
124, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. CMetSp )
131, 8lssss 17710 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
147, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
15 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Ws  U )  =  ( Ws  U )
16 pjthlem.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
1715, 1, 16cmsss 21915 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  U  C_  V )  ->  (
( Ws  U )  e. CMetSp  <->  U  e.  ( Clsd `  J )
) )
1812, 14, 17syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ws  U )  e. CMetSp 
<->  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1910, 18mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Ws  U )  e. CMetSp )
20 pjthlem.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
211, 2, 3, 6, 9, 19, 20minvec 21977 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
22 reurex 3074 . . 3  |-  ( E! x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) )  ->  E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2321, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
246adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  CPreHil )
25 cphlmod 21747 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
27 lmodabl 17684 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  Abel )
297adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  e.  L )
3029, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  C_  V
)
31 simprl 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  x  e.  U )
3230, 31sseldd 3500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  x  e.  V )
3320adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A  e.  V )
34 pjthlem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
351, 34, 2ablpncan3 16954 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (
x  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  =  A )
3628, 32, 33, 35syl12anc 1226 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  =  A )
378lsssssubg 17731 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
3826, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
3938, 29sseldd 3500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
40 cphphl 21744 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
4124, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  PreHil )
42 pjthlem.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( ocv `  W
)
431, 42, 8ocvlss 18830 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  C_  V )  ->  ( O `  U )  e.  L )
4441, 30, 43syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( O `  U )  e.  L
)
4538, 44sseldd 3500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( O `  U )  e.  (SubGrp `  W ) )
461, 2lmodvsubcl 17682 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( A  .-  x )  e.  V )
4726, 33, 32, 46syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( A  .-  x )  e.  V
)
48 pjthlem.h . . . . . . . 8  |-  .,  =  ( .i `  W )
494ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  CHil )
5029adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  U  e.  L )
5147adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( A  .-  x
)  e.  V )
52 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
5326adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
5429adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  U  e.  L )
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  U )
5631adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  U )
5734, 8lssvacl 17727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  /\  ( w  e.  U  /\  x  e.  U ) )  -> 
( w  .+  x
)  e.  U )
5853, 54, 55, 56, 57syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( w  .+  x
)  e.  U )
59 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
60 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  ( A  .-  y )  =  ( A  .-  (
w  .+  x )
) )
6160fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( w  .+  x ) ) ) )
6261breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  (
w  .+  x )
) ) ) )
6362rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  .+  x )  e.  U  ->  ( A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  ( w  .+  x
) ) ) ) )
6458, 59, 63sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  ( w 
.+  x ) ) ) )
65 lmodgrp 17646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
6626, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  W  e.  Grp )
6833adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  A  e.  V )
6932adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  V )
7030sselda 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  V )
711, 34, 2grpsubsub4 16258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( A  e.  V  /\  x  e.  V  /\  w  e.  V
) )  ->  (
( A  .-  x
)  .-  w )  =  ( A  .-  ( w  .+  x ) ) )
7267, 68, 69, 70, 71syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .-  w
)  =  ( A 
.-  ( w  .+  x ) ) )
7372fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  (
( A  .-  x
)  .-  w )
)  =  ( N `
 ( A  .-  ( w  .+  x ) ) ) )
7464, 73breqtrrd 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w
) ) )
7574ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A. w  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w ) ) )
7675adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  A. w  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w
) ) )
77 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .-  x
)  .,  z )  /  ( ( z 
.,  z )  +  1 ) )  =  ( ( ( A 
.-  x )  .,  z )  /  (
( z  .,  z
)  +  1 ) )
781, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 76, 77pjthlem1 21978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .,  z
)  =  0 )
7924adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  CPreHil )
80 cphclm 21762 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
8179, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e. CMod )
82 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
8382clm0 21698 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
8481, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  0  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8578, 84eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .,  z
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8685ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  U  ( ( A  .-  x )  .,  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
87 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
881, 48, 82, 87, 42elocv 18826 . . . . 5  |-  ( ( A  .-  x )  e.  ( O `  U )  <->  ( U  C_  V  /\  ( A 
.-  x )  e.  V  /\  A. z  e.  U  ( ( A  .-  x )  .,  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
8930, 47, 86, 88syl3anbrc 1180 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( A  .-  x )  e.  ( O `  U ) )
90 pjthlem.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9134, 90lsmelvali 16797 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( O `  U )  e.  (SubGrp `  W )
)  /\  ( x  e.  U  /\  ( A  .-  x )  e.  ( O `  U
) ) )  -> 
( x  .+  ( A  .-  x ) )  e.  ( U  .(+)  ( O `  U ) ) )
9239, 45, 31, 89, 91syl22anc 1229 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  e.  ( U  .(+)  ( O `  U ) ) )
9336, 92eqeltrrd 2546 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A  e.  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) )
9423, 93rexlimddv 2953 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    <_ cle 9646    / cdiv 10227   Basecbs 14644   ↾s cress 14645   +g cplusg 14712  Scalarcsca 14715   .icip 14717   TopOpenctopn 14839   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182  SubGrpcsubg 16322   LSSumclsm 16781   Abelcabl 16926   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   PreHilcphl 18786   ocvcocv 18818   Clsdccld 19644   normcnm 21223  CModcclm 21688   CPreHilccph 21739  CMetSpccms 21897   CHilchl 21899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-staf 17621  df-srng 17622  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lmhm 17795  df-lvec 17876  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-phl 18788  df-ocv 18821  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-flim 20566  df-fcls 20568  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nlm 21233  df-cncf 21508  df-clm 21689  df-cph 21741  df-cfil 21820  df-cmet 21822  df-cms 21900  df-bn 21901  df-hl 21902
This theorem is referenced by:  pjth  21980
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