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Theorem pjthlem2 22404
Description: Lemma for pjth 22405. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjthlem.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
pjthlem.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
pjthlem.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
pjthlem.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
pjthlem.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjthlem.1  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
pjthlem.2  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pjthlem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pjthlem.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
pjthlem.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjthlem.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
pjthlem.3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
pjthlem2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )

Proof of Theorem pjthlem2
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjthlem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 pjthlem.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
3 pjthlem.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  W
)
4 pjthlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
5 hlcph 22343 . . . . 5  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
7 pjthlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
8 pjthlem.l . . . . 5  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
97, 8syl6eleq 2541 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
10 pjthlem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
11 hlcms 22345 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. CMetSp
)
124, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. CMetSp )
131, 8lssss 18172 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
147, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
15 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( Ws  U )  =  ( Ws  U )
16 pjthlem.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
1715, 1, 16cmsss 22330 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  U  C_  V )  ->  (
( Ws  U )  e. CMetSp  <->  U  e.  ( Clsd `  J )
) )
1812, 14, 17syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ws  U )  e. CMetSp 
<->  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1910, 18mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Ws  U )  e. CMetSp )
20 pjthlem.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
211, 2, 3, 6, 9, 19, 20minvec 22390 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
22 reurex 3011 . . 3  |-  ( E! x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) )  ->  E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2321, 22syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
246adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  CPreHil )
25 cphlmod 22164 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
2624, 25syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
27 lmodabl 18147 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2826, 27syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  Abel )
297adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  e.  L )
3029, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  C_  V
)
31 simprl 765 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  x  e.  U )
3230, 31sseldd 3435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  x  e.  V )
3320adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A  e.  V )
34 pjthlem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
351, 34, 2ablpncan3 17471 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (
x  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  =  A )
3628, 32, 33, 35syl12anc 1267 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  =  A )
378lsssssubg 18193 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
3826, 37syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
3938, 29sseldd 3435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
40 cphphl 22161 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
4124, 40syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  PreHil )
42 pjthlem.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( ocv `  W
)
431, 42, 8ocvlss 19247 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  C_  V )  ->  ( O `  U )  e.  L )
4441, 30, 43syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( O `  U )  e.  L
)
4538, 44sseldd 3435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( O `  U )  e.  (SubGrp `  W ) )
461, 2lmodvsubcl 18145 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( A  .-  x )  e.  V )
4726, 33, 32, 46syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( A  .-  x )  e.  V
)
48 pjthlem.h . . . . . . . 8  |-  .,  =  ( .i `  W )
494ad2antrr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  CHil )
5029adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  U  e.  L )
5147adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( A  .-  x
)  e.  V )
52 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
5326adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
5429adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  U  e.  L )
55 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  U )
5631adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  U )
5734, 8lssvacl 18189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  /\  ( w  e.  U  /\  x  e.  U ) )  -> 
( w  .+  x
)  e.  U )
5853, 54, 55, 56, 57syl22anc 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( w  .+  x
)  e.  U )
59 simplrr 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
60 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  ( A  .-  y )  =  ( A  .-  (
w  .+  x )
) )
6160fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( w  .+  x ) ) ) )
6261breq2d 4417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  (
w  .+  x )
) ) ) )
6362rspcv 3148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  .+  x )  e.  U  ->  ( A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  ( w  .+  x
) ) ) ) )
6458, 59, 63sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  ( w 
.+  x ) ) ) )
65 lmodgrp 18110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
6626, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
6766adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  W  e.  Grp )
6833adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  A  e.  V )
6932adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  V )
7030sselda 3434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  V )
711, 34, 2grpsubsub4 16759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( A  e.  V  /\  x  e.  V  /\  w  e.  V
) )  ->  (
( A  .-  x
)  .-  w )  =  ( A  .-  ( w  .+  x ) ) )
7267, 68, 69, 70, 71syl13anc 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .-  w
)  =  ( A 
.-  ( w  .+  x ) ) )
7372fveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  (
( A  .-  x
)  .-  w )
)  =  ( N `
 ( A  .-  ( w  .+  x ) ) ) )
7464, 73breqtrrd 4432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w
) ) )
7574ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A. w  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w ) ) )
7675adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  A. w  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w
) ) )
77 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .-  x
)  .,  z )  /  ( ( z 
.,  z )  +  1 ) )  =  ( ( ( A 
.-  x )  .,  z )  /  (
( z  .,  z
)  +  1 ) )
781, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 76, 77pjthlem1 22403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .,  z
)  =  0 )
7924adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  CPreHil )
80 cphclm 22179 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e. CMod )
82 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
8382clm0 22115 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
8481, 83syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  0  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8578, 84eqtrd 2487 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .,  z
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8685ralrimiva 2804 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  U  ( ( A  .-  x )  .,  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
87 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
881, 48, 82, 87, 42elocv 19243 . . . . 5  |-  ( ( A  .-  x )  e.  ( O `  U )  <->  ( U  C_  V  /\  ( A 
.-  x )  e.  V  /\  A. z  e.  U  ( ( A  .-  x )  .,  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
8930, 47, 86, 88syl3anbrc 1193 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( A  .-  x )  e.  ( O `  U ) )
90 pjthlem.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9134, 90lsmelvali 17314 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( O `  U )  e.  (SubGrp `  W )
)  /\  ( x  e.  U  /\  ( A  .-  x )  e.  ( O `  U
) ) )  -> 
( x  .+  ( A  .-  x ) )  e.  ( U  .(+)  ( O `  U ) ) )
9239, 45, 31, 89, 91syl22anc 1270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  e.  ( U  .(+)  ( O `  U ) ) )
9336, 92eqeltrrd 2532 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A  e.  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) )
9423, 93rexlimddv 2885 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   E!wreu 2741    C_ wss 3406   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    <_ cle 9681    / cdiv 10276   Basecbs 15133   ↾s cress 15134   +g cplusg 15202  Scalarcsca 15205   .icip 15207   TopOpenctopn 15332   0gc0g 15350   Grpcgrp 16681   -gcsg 16683  SubGrpcsubg 16823   LSSumclsm 17298   Abelcabl 17443   LModclmod 18103   LSubSpclss 18167   PreHilcphl 19203   ocvcocv 19235   Clsdccld 20043   normcnm 21603  CModcclm 22105   CPreHilccph 22156  CMetSpccms 22312   CHilchl 22314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-cntz 16983  df-lsm 17300  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-rnghom 17955  df-drng 17989  df-subrg 18018  df-staf 18085  df-srng 18086  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lmhm 18257  df-lvec 18338  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-phl 19205  df-ocv 19238  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-flim 20966  df-fcls 20968  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-nm 21609  df-ngp 21610  df-nlm 21613  df-cncf 21922  df-clm 22106  df-cph 22158  df-cfil 22237  df-cmet 22239  df-cms 22315  df-bn 22316  df-hl 22317
This theorem is referenced by:  pjth  22405
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