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Theorem pjthlem2 20937
Description: Lemma for pjth 20938. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjthlem.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
pjthlem.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
pjthlem.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
pjthlem.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
pjthlem.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjthlem.1  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
pjthlem.2  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pjthlem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pjthlem.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
pjthlem.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjthlem.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
pjthlem.3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
pjthlem2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )

Proof of Theorem pjthlem2
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjthlem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 pjthlem.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
3 pjthlem.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  W
)
4 pjthlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
5 hlcph 20888 . . . . 5  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
7 pjthlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
8 pjthlem.l . . . . 5  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
97, 8syl6eleq 2533 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
10 pjthlem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
11 hlcms 20890 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. CMetSp
)
124, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. CMetSp )
131, 8lssss 17030 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
147, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
15 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Ws  U )  =  ( Ws  U )
16 pjthlem.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
1715, 1, 16cmsss 20873 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  U  C_  V )  ->  (
( Ws  U )  e. CMetSp  <->  U  e.  ( Clsd `  J )
) )
1812, 14, 17syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ws  U )  e. CMetSp 
<->  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1910, 18mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Ws  U )  e. CMetSp )
20 pjthlem.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
211, 2, 3, 6, 9, 19, 20minvec 20935 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
22 reurex 2949 . . 3  |-  ( E! x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) )  ->  E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2321, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
246adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  CPreHil )
25 cphlmod 20705 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
27 lmodabl 17004 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  Abel )
297adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  e.  L )
3029, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  C_  V
)
31 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  x  e.  U )
3230, 31sseldd 3369 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  x  e.  V )
3320adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A  e.  V )
34 pjthlem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
351, 34, 2ablpncan3 16318 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (
x  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  =  A )
3628, 32, 33, 35syl12anc 1216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  =  A )
378lsssssubg 17051 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
3826, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
3938, 29sseldd 3369 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
40 cphphl 20702 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
4124, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  PreHil )
42 pjthlem.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( ocv `  W
)
431, 42, 8ocvlss 18109 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  C_  V )  ->  ( O `  U )  e.  L )
4441, 30, 43syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( O `  U )  e.  L
)
4538, 44sseldd 3369 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( O `  U )  e.  (SubGrp `  W ) )
461, 2lmodvsubcl 17002 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( A  .-  x )  e.  V )
4726, 33, 32, 46syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( A  .-  x )  e.  V
)
48 pjthlem.h . . . . . . . 8  |-  .,  =  ( .i `  W )
494ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  CHil )
5029adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  U  e.  L )
5147adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( A  .-  x
)  e.  V )
52 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
5326adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
5429adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  U  e.  L )
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  U )
5631adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  U )
5734, 8lssvacl 17047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  /\  ( w  e.  U  /\  x  e.  U ) )  -> 
( w  .+  x
)  e.  U )
5853, 54, 55, 56, 57syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( w  .+  x
)  e.  U )
59 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
60 oveq2 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  ( A  .-  y )  =  ( A  .-  (
w  .+  x )
) )
6160fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( w  .+  x ) ) ) )
6261breq2d 4316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  (
w  .+  x )
) ) ) )
6362rspcv 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  .+  x )  e.  U  ->  ( A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  ( w  .+  x
) ) ) ) )
6458, 59, 63sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  ( w 
.+  x ) ) ) )
65 lmodgrp 16967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
6626, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  W  e.  Grp )
6833adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  A  e.  V )
6932adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  V )
7030sselda 3368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  V )
711, 34, 2grpsubsub4 15630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( A  e.  V  /\  x  e.  V  /\  w  e.  V
) )  ->  (
( A  .-  x
)  .-  w )  =  ( A  .-  ( w  .+  x ) ) )
7267, 68, 69, 70, 71syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .-  w
)  =  ( A 
.-  ( w  .+  x ) ) )
7372fveq2d 5707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  (
( A  .-  x
)  .-  w )
)  =  ( N `
 ( A  .-  ( w  .+  x ) ) ) )
7464, 73breqtrrd 4330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w
) ) )
7574ralrimiva 2811 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A. w  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w ) ) )
7675adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  A. w  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w
) ) )
77 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .-  x
)  .,  z )  /  ( ( z 
.,  z )  +  1 ) )  =  ( ( ( A 
.-  x )  .,  z )  /  (
( z  .,  z
)  +  1 ) )
781, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 76, 77pjthlem1 20936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .,  z
)  =  0 )
7924adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  CPreHil )
80 cphclm 20720 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
8179, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e. CMod )
82 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
8382clm0 20656 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
8481, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  0  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8578, 84eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .,  z
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8685ralrimiva 2811 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  U  ( ( A  .-  x )  .,  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
87 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
881, 48, 82, 87, 42elocv 18105 . . . . 5  |-  ( ( A  .-  x )  e.  ( O `  U )  <->  ( U  C_  V  /\  ( A 
.-  x )  e.  V  /\  A. z  e.  U  ( ( A  .-  x )  .,  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
8930, 47, 86, 88syl3anbrc 1172 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( A  .-  x )  e.  ( O `  U ) )
90 pjthlem.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9134, 90lsmelvali 16161 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( O `  U )  e.  (SubGrp `  W )
)  /\  ( x  e.  U  /\  ( A  .-  x )  e.  ( O `  U
) ) )  -> 
( x  .+  ( A  .-  x ) )  e.  ( U  .(+)  ( O `  U ) ) )
9239, 45, 31, 89, 91syl22anc 1219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  e.  ( U  .(+)  ( O `  U ) ) )
9336, 92eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A  e.  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) )
9423, 93rexlimddv 2857 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   E!wreu 2729    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    <_ cle 9431    / cdiv 10005   Basecbs 14186   ↾s cress 14187   +g cplusg 14250  Scalarcsca 14253   .icip 14255   TopOpenctopn 14372   0gc0g 14390   Grpcgrp 15422   -gcsg 15425  SubGrpcsubg 15687   LSSumclsm 16145   Abelcabel 16290   LModclmod 16960   LSubSpclss 17025   PreHilcphl 18065   ocvcocv 18097   Clsdccld 18632   normcnm 20181  CModcclm 20646   CPreHilccph 20697  CMetSpccms 20855   CHilchl 20857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-mhm 15476  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mulg 15560  df-subg 15690  df-ghm 15757  df-cntz 15847  df-lsm 16147  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-cring 16660  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-dvr 16787  df-rnghom 16818  df-drng 16846  df-subrg 16875  df-staf 16942  df-srng 16943  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-lmhm 17115  df-lvec 17196  df-sra 17265  df-rgmod 17266  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-phl 18067  df-ocv 18100  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-cmp 19002  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-flim 19524  df-fcls 19526  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-nm 20187  df-ngp 20188  df-nlm 20191  df-cncf 20466  df-clm 20647  df-cph 20699  df-cfil 20778  df-cmet 20780  df-cms 20858  df-bn 20859  df-hl 20860
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