MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssss 18758
Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssss (𝑈𝑆𝑈𝑉)

Proof of Theorem lssss
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2610 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3 lssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2610 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5 eqid 2610 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
6 lssss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 18756 . 2 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
87simp1bi 1069 1 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wss 3540  c0 3874  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  LSubSpclss 18753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-lss 18754
This theorem is referenced by:  lssel  18759  lssuni  18761  00lss  18763  lsssubg  18778  islss3  18780  lsslss  18782  lssintcl  18785  lssmre  18787  lssacs  18788  lspid  18803  lspssv  18804  lspssp  18809  lsslsp  18836  lmhmima  18868  reslmhm  18873  lsmsp  18907  pj1lmhm  18921  lsppratlem2  18969  lsppratlem3  18970  lsppratlem4  18971  lspprat  18974  lbsextlem3  18981  lidlss  19031  ocvin  19837  pjdm2  19874  pjff  19875  pjf2  19877  pjfo  19878  pjcss  19879  frlmgsum  19930  frlmsplit2  19931  lsslindf  19988  lsslinds  19989  lssbn  22956  minveclem1  23003  minveclem2  23005  minveclem3a  23006  minveclem3b  23007  minveclem3  23008  minveclem4a  23009  minveclem4b  23010  minveclem4  23011  minveclem6  23013  minveclem7  23014  pjthlem1  23016  pjthlem2  23017  pjth  23018  islshpsm  33285  lshpnelb  33289  lshpnel2N  33290  lshpcmp  33293  lsatssv  33303  lssats  33317  lpssat  33318  lssatle  33320  lssat  33321  islshpcv  33358  lkrssv  33401  lkrlsp  33407  dvhopellsm  35424  dvadiaN  35435  dihss  35558  dihrnss  35585  dochord2N  35678  dochord3  35679  dihoml4  35684  dochsat  35690  dochshpncl  35691  dochnoncon  35698  djhlsmcl  35721  dihjat1lem  35735  dochsatshp  35758  dochsatshpb  35759  dochshpsat  35761  dochexmidlem2  35768  dochexmidlem5  35771  dochexmidlem6  35772  dochexmidlem7  35773  dochexmidlem8  35774  lclkrlem2p  35829  lclkrlem2v  35835  lcfrlem5  35853  lcfr  35892  mapdpglem17N  35995  mapdpglem18  35996  mapdpglem21  35999  islssfg  36658  islssfg2  36659  lnmlsslnm  36669  kercvrlsm  36671  lnmepi  36673  filnm  36678  gsumlsscl  41958  lincellss  42009  ellcoellss  42018
  Copyright terms: Public domain W3C validator