Theorem lmodvacl 18700

Description: Closure of vector addition for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvacl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvacl.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvacl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 18693	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvacl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4	2, 3	grpcl 17253	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl3an1 1351	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  LModclmod 18686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-lmod 18688

This theorem is referenced by:  lmodcom  18732  lmodvsghm  18747  lss1  18760  lspprabs  18916  lspabs2  18941  lspabs3  18942  lspfixed  18949  lspexch  18950  lspsolvlem  18963  ipdir  19803  ipdi  19804  ip2di  19805  ocvlss  19835  frlmphl  19939  frlmup1  19956  nmparlem  22846  minveclem2  23005  lsatfixedN  33314  lfl0f  33374  lfladdcl  33376  lflnegcl  33380  lflvscl  33382  lkrlss  33400  lshpkrlem5  33419  lshpkrlem6  33420  dvh3dim2  35755  dvh3dim3N  35756  lcfrlem17  35866  lcfrlem19  35868  lcfrlem20  35869  lcfrlem23  35872  baerlem3lem1  36014  baerlem5alem1  36015  baerlem5blem1  36016  baerlem5alem2  36018  baerlem5blem2  36019  mapdindp0  36026  mapdindp2  36028  mapdindp4  36030  mapdh6lem2N  36041  mapdh6aN  36042  mapdh6dN  36046  mapdh6eN  36047  mapdh6hN  36050  hdmap1l6lem2  36116  hdmap1l6a  36117  hdmap1l6d  36121  hdmap1l6e  36122  hdmap1l6h  36125  hdmap11lem1  36151  hdmap11lem2  36152  hdmapneg  36156  hdmaprnlem3N  36160  hdmaprnlem3uN  36161  hdmaprnlem6N  36164  hdmaprnlem7N  36165  hdmaprnlem9N  36167  hdmaprnlem3eN  36168  hdmap14lem10  36187  hdmapinvlem3  36230  hdmapinvlem4  36231  hdmapglem7b  36238  hlhilphllem  36269  lincsumcl  42014