Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp4 36030
 Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp4 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))

Proof of Theorem mapdindp4
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 mapdindp1.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 mapdindp1.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 mapdindp1.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 mapdindp1.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6 lveclmod 18927 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 mapdindp1.W . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3552 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
10 mapdindp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3552 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
12 mapdindp1.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
131, 12lmodvacl 18700 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
147, 9, 11, 13syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
15 mapdindp1.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1615eldifad 3552 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
17 mapdindp1.e . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
18 mapdindp1.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
191, 3, 4, 9, 16, 11, 18lspindpi 18953 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
2019simprd 478 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2120necomd 2837 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
221, 12, 2, 3, 4, 11, 8, 21lspindp3 18957 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑤)}))
231, 12lmodcom 18732 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑤))
247, 9, 11, 23syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑤))
2524sneqd 4137 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝑤 + 𝑌)} = {(𝑌 + 𝑤)})
2625fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 + 𝑤)}))
2722, 26neeqtrrd 2856 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
2817, 27eqnetrrd 2850 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
29 mapdindp1.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
301, 2, 3, 4, 15, 11, 9, 29, 18lspindp1 18954 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌})))
3130simprd 478 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
32 eqid 2610 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
335eldifad 3552 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
341, 3, 32, 7, 33, 14lsmpr 18910 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
351, 12lmodcom 18732 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑤𝑉) → (𝑌 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑌))
367, 11, 9, 35syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑌))
3736preq2d 4219 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑌, (𝑌 + 𝑤)} = {𝑌, (𝑤 + 𝑌)})
3837fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑤)}) = (𝑁‘{𝑌, (𝑤 + 𝑌)}))
391, 12, 3, 7, 11, 9lspprabs 18916 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑤)}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
401, 3, 32, 7, 11, 14lsmpr 18910 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑤 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
4138, 39, 403eqtr3rd 2653 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
4217oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
43 prcom 4211 . . . . . . . 8 {𝑌, 𝑤} = {𝑤, 𝑌}
4443fveq2i 6106 . . . . . . 7 (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌})
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4641, 42, 453eqtr3d 2652 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4734, 46eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4831, 47neleqtrrd 2710 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
491, 2, 3, 4, 5, 14, 16, 28, 48lspindp1 18954 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)})))
5049simprd 478 1 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924 This theorem is referenced by:  mapdh6eN  36047  hdmap1l6e  36122
 Copyright terms: Public domain W3C validator