Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6e 36122
 Description: Lemmma for hdmap1l6 36129. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6d.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6d.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
hdmap1l6d.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6d.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6d.w (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6d.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6e (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6e
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1l6.p . 2 + = (+g𝑈)
5 hdmap1l6.s . 2 = (-g𝑈)
6 hdmap1l6c.o . 2 0 = (0g𝑈)
7 hdmap1l6.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 hdmap1l6.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmap1l6.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
10 hdmap1l6.a . 2 = (+g𝐶)
11 hdmap1l6.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
12 hdmap1l6.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
13 hdmap1l6.l . 2 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
14 hdmap1l6.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap1l6.i . 2 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmap1l6.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 hdmap1l6.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
18 hdmap1l6cl.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 hdmap1l6.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
201, 2, 16dvhlmod 35417 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
21 hdmap1l6d.w . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2221eldifad 3552 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
23 hdmap1l6d.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2423eldifad 3552 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
253, 4lmodvacl 18700 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
2620, 22, 24, 25syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
271, 2, 16dvhlvec 35416 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2818eldifad 3552 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
29 hdmap1l6d.wn . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
303, 7, 27, 22, 28, 24, 29lspindpi 18953 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
3130simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
323, 4, 6, 7, 20, 22, 24, 31lmodindp1 18835 . . 3 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ≠ 0 )
33 eldifsn 4260 . . 3 ((𝑤 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑤 + 𝑌) ≠ 0 ))
3426, 32, 33sylanbrc 695 . 2 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 hdmap1l6d.z . 2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3635eldifad 3552 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
37 hdmap1l6d.yz . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
38 hdmap1l6d.xn . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
393, 7, 27, 28, 24, 36, 38lspindpi 18953 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
4039simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
413, 4, 6, 7, 27, 18, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp3 36029 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
423, 4, 6, 7, 27, 18, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp4 36030 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))
433, 6, 7, 27, 18, 26, 36, 41, 42lspindp1 18954 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)})))
4443simprd 478 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
45 prcom 4211 . . . . 5 {(𝑤 + 𝑌), 𝑍} = {𝑍, (𝑤 + 𝑌)}
4645fveq2i 6106 . . . 4 (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)})
4746eleq2i 2680 . . 3 (𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
4844, 47sylnibr 318 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}))
493, 7, 27, 36, 28, 26, 42lspindpi 18953 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
5049simprd 478 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
5150necomd 2837 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
52 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩))
53 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 34, 35, 48, 51, 52, 53hdmap1l6a 36117 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cotp 4133  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  -gcsg 17247  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  LCDualclcd 35893  mapdcmpd 35931  HDMap1chdma1 36099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655  df-djh 35702  df-lcdual 35894  df-mapd 35932  df-hdmap1 36101 This theorem is referenced by:  hdmap1l6g  36124
 Copyright terms: Public domain W3C validator