Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipdir 19803
 Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g + = (+g𝑊)
ipdir.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipdir ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdir
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
3 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) = (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))
51, 2, 3, 4phllmhm 19796 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
653ad2antr3 1221 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
7 lmghm 18852 . . . 4 ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
86, 7syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
9 simpr1 1060 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
10 simpr2 1061 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
11 ipdir.g . . . 4 + = (+g𝑊)
12 ipdir.p . . . . 5 = (+g𝐹)
13 rlmplusg 19017 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
1412, 13eqtri 2632 . . . 4 = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
153, 11, 14ghmlin 17488 . . 3 (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
168, 9, 10, 15syl3anc 1318 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
17 phllmod 19794 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
183, 11lmodvacl 18700 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
1917, 18syl3an1 1351 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
20193adant3r3 1268 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
21 oveq1 6556 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑥 , 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
22 ovex 6577 . . . 4 (𝑥 , 𝐶) ∈ V
2321, 4, 22fvmpt3i 6196 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
2420, 23syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
25 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
2625, 4, 22fvmpt3i 6196 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
279, 26syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
28 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
2928, 4, 22fvmpt3i 6196 . . . 4 (𝐵𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
3010, 29syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
3127, 30oveq12d 6567 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))
3216, 24, 313eqtr3d 2652 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771  ·𝑖cip 15773   GrpHom cghm 17480  LModclmod 18686   LMHom clmhm 18840  ringLModcrglmod 18990  PreHilcphl 19788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-lmod 18688  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-phl 19790 This theorem is referenced by:  ipdi  19804  ip2di  19805  ipsubdir  19806  ocvlss  19835  lsmcss  19855  cphdir  22813
 Copyright terms: Public domain W3C validator