Theorem fvmpt3i 6196

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6195	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  isf32lem9  9066  axcc2lem  9141  caucvg  14257  ismre  16073  mrisval  16113  frmdup1  17224  frmdup2  17225  qusghm  17520  pmtrfval  17693  odf1  17802  vrgpfval  18002  dprdz  18252  dmdprdsplitlem  18259  dprd2dlem2  18262  dprd2dlem1  18263  dprd2da  18264  ablfac1a  18291  ablfac1b  18292  ablfac1eu  18295  ipdir  19803  ipass  19809  isphld  19818  istopon  20540  qustgpopn  21733  qustgplem  21734  tchcph  22844  cmvth  23558  mvth  23559  dvle  23574  lhop1  23581  dvfsumlem3  23595  pige3  24073  fsumdvdscom  24711  logfacbnd3  24748  dchrptlem1  24789  dchrptlem2  24790  lgsdchrval  24879  dchrisumlem3  24980  dchrisum0flblem1  24997  dchrisum0fno1  25000  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  logsqvma2  25032  log2sumbnd  25033  sgnsv  29058  measdivcstOLD  29614  measdivcst  29615  mrexval  30652  mexval  30653  mdvval  30655  msubvrs  30711  mthmval  30726  f1omptsnlem  32359  upixp  32694  ismrer1  32807  uzmptshftfval  37567  amgmwlem  42357  amgmlemALT  42358