Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup2 17225
 Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup.e 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
frmdup.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i (𝜑𝐼𝑋)
frmdup.a (𝜑𝐴:𝐼𝐵)
frmdup2.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
frmdup2.y (𝜑𝑌𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdup2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝑌)) = (𝐴𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem frmdup2
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑋)
2 frmdup2.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐼)
3 frmdup2.u . . . . 5 𝑈 = (varFMnd𝐼)
43vrmdval 17217 . . . 4 ((𝐼𝑋𝑌𝐼) → (𝑈𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
51, 2, 4syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
65fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝑌)) = (𝐸‘⟨“𝑌”⟩))
72s1cld 13236 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼)
8 coeq2 5202 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩))
98oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐺 Σg (𝐴𝑥)) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
10 frmdup.e . . . . 5 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
11 ovex 6577 . . . . 5 (𝐺 Σg (𝐴𝑥)) ∈ V
129, 10, 11fvmpt3i 6196 . . . 4 (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
137, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
14 frmdup.a . . . . 5 (𝜑𝐴:𝐼𝐵)
15 s1co 13430 . . . . 5 ((𝑌𝐼𝐴:𝐼𝐵) → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴𝑌)”⟩)
162, 14, 15syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴𝑌)”⟩)
1716oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐺 Σg ⟨“(𝐴𝑌)”⟩))
1814, 2ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑌) ∈ 𝐵)
19 frmdup.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2019gsumws1 17199 . . . 4 ((𝐴𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴𝑌)”⟩) = (𝐴𝑌))
2118, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴𝑌)”⟩) = (𝐴𝑌))
2213, 17, 213eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐴𝑌))
236, 22eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝑌)) = (𝐴𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Word cword 13146  ⟨“cs1 13149  Basecbs 15695   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  freeMndcfrmd 17207  varFMndcvrmd 17208 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-word 13154  df-s1 13157  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-vrmd 17210 This theorem is referenced by:  frmdup3  17227
 Copyright terms: Public domain W3C validator