MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup2 Structured version   Unicode version

Theorem frmdup2 16169
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdup.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
frmdup.e  |-  E  =  ( x  e. Word  I  |->  ( G  gsumg  ( A  o.  x
) ) )
frmdup.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
frmdup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
frmdup.a  |-  ( ph  ->  A : I --> B )
frmdup2.u  |-  U  =  (varFMnd `  I )
frmdup2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
Assertion
Ref Expression
frmdup2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( A `
 Y ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, G    ph, x    x, Y    x, I
Allowed substitution hints:    U( x)    E( x)    M( x)    X( x)

Proof of Theorem frmdup2
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
2 frmdup2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
3 frmdup2.u . . . . 5  |-  U  =  (varFMnd `  I )
43vrmdval 16161 . . . 4  |-  ( ( I  e.  X  /\  Y  e.  I )  ->  ( U `  Y
)  =  <" Y "> )
51, 2, 4syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  Y
)  =  <" Y "> )
65fveq2d 5791 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( E `
 <" Y "> ) )
72s1cld 12543 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" Y ">  e. Word  I )
8 coeq2 5087 . . . . . 6  |-  ( x  =  <" Y ">  ->  ( A  o.  x )  =  ( A  o.  <" Y "> ) )
98oveq2d 6230 . . . . 5  |-  ( x  =  <" Y ">  ->  ( G  gsumg  ( A  o.  x ) )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> ) ) )
10 frmdup.e . . . . 5  |-  E  =  ( x  e. Word  I  |->  ( G  gsumg  ( A  o.  x
) ) )
11 ovex 6242 . . . . 5  |-  ( G 
gsumg  ( A  o.  x
) )  e.  _V
129, 10, 11fvmpt3i 5874 . . . 4  |-  ( <" Y ">  e. Word  I  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> )
) )
137, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> ) ) )
14 frmdup.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : I --> B )
15 s1co 12729 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  I  /\  A : I --> B )  ->  ( A  o.  <" Y "> )  =  <" ( A `  Y ) "> )
162, 14, 15syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  <" Y "> )  =  <" ( A `
 Y ) "> )
1716oveq2d 6230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> )
)  =  ( G 
gsumg  <" ( A `  Y ) "> ) )
1814, 2ffvelrnd 5947 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A `  Y
)  e.  B )
19 frmdup.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2019gsumws1 16143 . . . 4  |-  ( ( A `  Y )  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" ( A `  Y ) "> )  =  ( A `  Y ) )
2118, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg 
<" ( A `  Y ) "> )  =  ( A `  Y ) )
2213, 17, 213eqtrd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( A `  Y ) )
236, 22eqtrd 2433 1  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( A `
 Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1836    |-> cmpt 4438    o. ccom 4930   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214  Word cword 12457   <"cs1 12460   Basecbs 14653    gsumg cgsu 14867   Mndcmnd 16055  freeMndcfrmd 16151  varFMndcvrmd 16152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-seq 12030  df-word 12465  df-s1 12468  df-0g 14868  df-gsum 14869  df-vrmd 16154
This theorem is referenced by:  frmdup3  16171
  Copyright terms: Public domain W3C validator