Theorem s1co 13430

Description: Mapping of a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1co	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩)

Proof of Theorem s1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 13231	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
2		0cn 9911	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		xpsng 6312	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ({0} × {𝑆}) = {⟨0, 𝑆⟩})
4	2, 3	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ({0} × {𝑆}) = {⟨0, 𝑆⟩})
5	1, 4	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑆”⟩ = ({0} × {𝑆}))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ⟨“𝑆”⟩ = ({0} × {𝑆}))
7	6	coeq2d 5206	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})))
8		ffn 5958	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
9		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ 𝐴)
10		fcoconst 6307	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})) = ({0} × {(𝐹‘𝑆)}))
11	8, 9, 10	syl2anr 494	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})) = ({0} × {(𝐹‘𝑆)}))
12		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑆) ∈ V
13		s1val 13231	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑆) ∈ V → ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩})
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩}
15		c0ex 9913	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
16	15, 12	xpsn 6313	. . . 4 ⊢ ({0} × {(𝐹‘𝑆)}) = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩}
17	14, 16	eqtr4i 2635	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = ({0} × {(𝐹‘𝑆)})
18	11, 17	syl6reqr 2663	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})))
19	7, 18	eqtr4d 2647	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  ⟨cop 4131   × cxp 5036   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  0cc0 9815  ⟨“cs1 13149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-mulcl 9877  ax-i2m1 9883

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-s1 13157

This theorem is referenced by:  cats1co  13452  s2co  13515  frmdgsum  17222  frmdup2  17225  efginvrel2  17963  vrgpinv  18005  frgpup2  18012  mrsubcv  30661