Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws1 17199
 Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws1 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem gsumws1
StepHypRef Expression
1 s1val 13231 . . 3 (𝑆𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
21oveq2d 6565 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}))
3 gsumwcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2610 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 elfvdm 6130 . . . 4 (𝑆 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Base)
65, 3eleq2s 2706 . . 3 (𝑆𝐵𝐺 ∈ dom Base)
7 0nn0 11184 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
8 nn0uz 11598 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
97, 8eleqtri 2686 . . . 4 0 ∈ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . 3 (𝑆𝐵 → 0 ∈ (ℤ‘0))
11 0z 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
12 f1osng 6089 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆𝐵) → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
1311, 12mpan 702 . . . . . 6 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
14 f1of 6050 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆} → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
16 snssi 4280 . . . . 5 (𝑆𝐵 → {𝑆} ⊆ 𝐵)
1715, 16fssd 5970 . . . 4 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
18 fzsn 12254 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
1911, 18ax-mp 5 . . . . 5 (0...0) = {0}
2019feq2i 5950 . . . 4 ({⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵 ↔ {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
2117, 20sylibr 223 . . 3 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵)
223, 4, 6, 10, 21gsumval2 17103 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}) = (seq0((+g𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0))
23 fvsng 6352 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆𝐵) → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
2411, 23mpan 702 . . 3 (𝑆𝐵 → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
2511, 24seq1i 12677 . 2 (𝑆𝐵 → (seq0((+g𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0) = 𝑆)
262, 22, 253eqtrd 2648 1 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125  ⟨cop 4131  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  ⟨“cs1 13149  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   Σg cgsu 15924 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-s1 13157  df-0g 15925  df-gsum 15926 This theorem is referenced by:  gsumws2  17202  gsumccatsn  17203  gsumwspan  17206  frmdgsum  17222  frmdup2  17225  gsumwrev  17619  psgnunilem5  17737  psgnpmtr  17753  frgpup2  18012  mrsubcv  30661  gsumws3  37521  gsumws4  37522
 Copyright terms: Public domain W3C validator