Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubcv 30661
Description: The value of a substituted singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubffval.c 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mrsubffval.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubffval.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubffval.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubcv ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))

Proof of Theorem mrsubcv
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1056 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
21s1cld 13236 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (𝐶𝑉))
3 elun 3715 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ↔ (𝑋𝐶𝑋𝑉))
4 elfvex 6131 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (mCN‘𝑇) → 𝑇 ∈ V)
5 mrsubffval.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (mCN‘𝑇)
64, 5eleq2s 2706 . . . . . . . 8 (𝑋𝐶𝑇 ∈ V)
7 elfvex 6131 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (mVR‘𝑇) → 𝑇 ∈ V)
8 mrsubffval.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (mVR‘𝑇)
97, 8eleq2s 2706 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑇 ∈ V)
106, 9jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶𝑋𝑉) → 𝑇 ∈ V)
113, 10sylbi 206 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → 𝑇 ∈ V)
12113ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑇 ∈ V)
13 mrsubffval.r . . . . . 6 𝑅 = (mREx‘𝑇)
145, 8, 13mrexval 30652 . . . . 5 (𝑇 ∈ V → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
1512, 14syl 17 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
162, 15eleqtrrd 2691 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ 𝑅)
17 mrsubffval.s . . . 4 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
18 eqid 2610 . . . 4 (freeMnd‘(𝐶𝑉)) = (freeMnd‘(𝐶𝑉))
195, 8, 13, 17, 18mrsubval 30660 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
2016, 19syld3an3 1363 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
21 simpl1 1057 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝐹:𝐴𝑅)
2221ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑅)
2315ad2antrr 758 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
2422, 23eleqtrd 2690 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ Word (𝐶𝑉))
25 simplr 788 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ ¬ 𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐶𝑉))
2625s1cld 13236 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ ¬ 𝑣𝐴) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word (𝐶𝑉))
2724, 26ifclda 4070 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) → if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉))
28 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) = (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))
2927, 28fmptd 6292 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):(𝐶𝑉)⟶Word (𝐶𝑉))
30 s1co 13430 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):(𝐶𝑉)⟶Word (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩)
311, 29, 30syl2anc 691 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩)
32 eleq1 2676 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → (𝑣𝐴𝑋𝐴))
33 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑋))
34 s1eq 13233 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
3532, 33, 34ifbieq12d 4063 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
36 fvex 6113 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋) ∈ V
37 s1cli 13237 . . . . . . . . 9 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
3837elexi 3186 . . . . . . . 8 ⟨“𝑋”⟩ ∈ V
3936, 38ifex 4106 . . . . . . 7 if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ V
4035, 28, 39fvmpt 6191 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
41403ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
4241s1eqd 13234 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩ = ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩)
4331, 42eqtrd 2644 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩)
4443oveq2d 6565 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩))
4529, 1ffvelrnd 6268 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) ∈ Word (𝐶𝑉))
4641, 45eqeltrrd 2689 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉))
47 fvex 6113 . . . . . . . 8 (mCN‘𝑇) ∈ V
485, 47eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐶 ∈ V
49 fvex 6113 . . . . . . . 8 (mVR‘𝑇) ∈ V
508, 49eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
5148, 50unex 6854 . . . . . 6 (𝐶𝑉) ∈ V
52 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉)))
5318, 52frmdbas 17212 . . . . . 6 ((𝐶𝑉) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = Word (𝐶𝑉))
5451, 53ax-mp 5 . . . . 5 (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = Word (𝐶𝑉)
5554eqcomi 2619 . . . 4 Word (𝐶𝑉) = (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉)))
5655gsumws1 17199 . . 3 (if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
5746, 56syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
5820, 44, 573eqtrd 2648 1 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  cun 3538  wss 3540  ifcif 4036  cmpt 4643  ccom 5042  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  Word cword 13146  ⟨“cs1 13149  Basecbs 15695   Σg cgsu 15924  freeMndcfrmd 17207  mCNcmcn 30611  mVRcmvar 30612  mRExcmrex 30617  mRSubstcmrsub 30621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-s1 13157  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-frmd 17209  df-mrex 30637  df-mrsub 30641
This theorem is referenced by:  mrsubvr  30662  mrsubcn  30670
  Copyright terms: Public domain W3C validator