Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvsng 6352
 Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
fvsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq1 4340 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝐴, 𝑏⟩)
21sneqd 4137 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → {⟨𝑎, 𝑏⟩} = {⟨𝐴, 𝑏⟩})
3 id 22 . . . 4 (𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝐴)
42, 3fveq12d 6109 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ({⟨𝑎, 𝑏⟩}‘𝑎) = ({⟨𝐴, 𝑏⟩}‘𝐴))
54eqeq1d 2612 . 2 (𝑎 = 𝐴 → (({⟨𝑎, 𝑏⟩}‘𝑎) = 𝑏 ↔ ({⟨𝐴, 𝑏⟩}‘𝐴) = 𝑏))
6 opeq2 4341 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑏⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
76sneqd 4137 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → {⟨𝐴, 𝑏⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
87fveq1d 6105 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝑏⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴))
9 id 22 . . 3 (𝑏 = 𝐵𝑏 = 𝐵)
108, 9eqeq12d 2625 . 2 (𝑏 = 𝐵 → (({⟨𝐴, 𝑏⟩}‘𝐴) = 𝑏 ↔ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
11 vex 3176 . . 3 𝑎 ∈ V
12 vex 3176 . . 3 𝑏 ∈ V
1311, 12fvsn 6351 . 2 ({⟨𝑎, 𝑏⟩}‘𝑎) = 𝑏
145, 10, 13vtocl2g 3243 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812 This theorem is referenced by:  fsnunfv  6358  fvpr1g  6363  fvpr2g  6364  fsnex  6438  suppsnop  7196  enfixsn  7954  axdc3lem4  9158  fseq1p1m1  12283  1fv  12327  s1fv  13243  sumsn  14319  prodsn  14531  prodsnf  14533  seq1st  15122  vdwlem8  15530  setsid  15742  xpsc0  16043  xpsc1  16044  mgm1  17080  sgrp1  17116  mnd1  17154  mnd1id  17155  gsumws1  17199  grp1  17345  dprdsn  18258  ring1  18425  ixpsnbasval  19030  frgpcyg  19741  mat1dimscm  20100  mat1dimmul  20101  mat1rhmelval  20105  m1detdiag  20222  pt1hmeo  21419  vdgr1d  26430  vdgr1b  26431  vdgr1a  26433  eupap1  26503  cvmliftlem7  30527  cvmliftlem13  30532  sumsnd  38208  mapsnend  38386  sumsnf  38636  ovnovollem1  39546  nnsum3primesprm  40206  1loopgrvd0  40719  1hevtxdg0  40720  1hevtxdg1  40721  1egrvtxdg1  40725  lincvalsng  41999  snlindsntorlem  42053  lmod1lem2  42071  lmod1lem3  42072
 Copyright terms: Public domain W3C validator