MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup2 18012
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
frgpup.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
frgpup.y (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpup2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup2
StepHypRef Expression
1 frgpup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
2 frgpup.y . . . 4 (𝜑𝐴𝐼)
3 frgpup.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
4 frgpup.u . . . . 5 𝑈 = (varFGrp𝐼)
53, 4vrgpval 18003 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
61, 2, 5syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
76fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
8 0ex 4718 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
98prid1 4241 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
10 df2o3 7460 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
119, 10eleqtrri 2687 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
12 opelxpi 5072 . . . . . 6 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
132, 11, 12sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
1413s1cld 13236 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
15 frgpup.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
16 2on 7455 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
17 xpexg 6858 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
181, 16, 17sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
19 wrdexg 13170 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
20 fvi 6165 . . . . . 6 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
2118, 19, 203syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
2215, 21syl5eq 2656 . . . 4 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
2314, 22eleqtrrd 2691 . . 3 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
24 frgpup.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
25 frgpup.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐻)
26 frgpup.t . . . 4 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
27 frgpup.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
28 frgpup.a . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
29 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
30 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
31 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
3224, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31frgpupval 18010 . . 3 ((𝜑 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊) → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
3323, 32mpdan 699 . 2 (𝜑 → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
3424, 25, 26, 27, 1, 28frgpuptf 18006 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵)
35 s1co 13430 . . . . . 6 ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3613, 34, 35syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
37 df-ov 6552 . . . . . . 7 (𝐴𝑇∅) = (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)
38 iftrue 4042 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ∅ → if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))) = (𝐹𝑦))
39 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
4038, 39sylan9eqr 2666 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝐴𝑧 = ∅) → if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))) = (𝐹𝐴))
41 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴) ∈ V
4240, 26, 41ovmpt2a 6689 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (𝐴𝑇∅) = (𝐹𝐴))
432, 11, 42sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑇∅) = (𝐹𝐴))
4437, 43syl5eqr 2658 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩) = (𝐹𝐴))
4544s1eqd 13234 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“(𝐹𝐴)”⟩)
4636, 45eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝐹𝐴)”⟩)
4746oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩))
4828, 2ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
4924gsumws1 17199 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩) = (𝐹𝐴))
5048, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩) = (𝐹𝐴))
5147, 50eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐹𝐴))
527, 33, 513eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  c0 3874  ifcif 4036  {cpr 4127  cop 4131  cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  ran crn 5039  ccom 5042  Oncon0 5640  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441  [cec 7627  Word cword 13146  ⟨“cs1 13149  Basecbs 15695   Σg cgsu 15924  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246   ~FG cefg 17942  freeGrpcfrgp 17943  varFGrpcvrgp 17944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-frmd 17209  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-efg 17945  df-frgp 17946  df-vrgp 17947
This theorem is referenced by:  frgpup3  18014
  Copyright terms: Public domain W3C validator