MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup2 Structured version   Unicode version

Theorem frgpup2 16294
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
frgpup.n  |-  N  =  ( invg `  H )
frgpup.t  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
frgpup.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
frgpup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
frgpup.a  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
frgpup.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
frgpup.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
frgpup.g  |-  G  =  (freeGrp `  I )
frgpup.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
frgpup.e  |-  E  =  ran  ( g  e.  W  |->  <. [ g ]  .~  ,  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) ) >. )
frgpup.u  |-  U  =  (varFGrp `  I )
frgpup.y  |-  ( ph  ->  A  e.  I )
Assertion
Ref Expression
frgpup2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  A )
)  =  ( F `
 A ) )
Distinct variable groups:    y, g,
z, A    g, H    y, F, z    y, N, z    B, g, y, z    T, g    .~ , g    ph, g,
y, z    y, I,
z    g, W
Allowed substitution hints:    .~ ( y, z)    T( y, z)    U( y, z, g)    E( y, z, g)    F( g)    G( y, z, g)    H( y, z)    I( g)    N( g)    V( y, z, g)    W( y, z)    X( y, z, g)

Proof of Theorem frgpup2
StepHypRef Expression
1 frgpup.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2 frgpup.y . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  I )
3 frgpup.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
4 frgpup.u . . . . 5  |-  U  =  (varFGrp `  I )
53, 4vrgpval 16285 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( U `  A
)  =  [ <"
<. A ,  (/) >. "> ]  .~  )
61, 2, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  A
)  =  [ <"
<. A ,  (/) >. "> ]  .~  )
76fveq2d 5716 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  A )
)  =  ( E `
 [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  ) )
8 0ex 4443 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
98prid1 4004 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
10 df2o3 6954 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
119, 10eleqtrri 2516 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
12 opelxpi 4892 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  ->  <. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
132, 11, 12sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
1413s1cld 12315 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" <. A ,  (/)
>. ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )
15 frgpup.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
16 2on 6949 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
17 xpexg 6528 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
181, 16, 17sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I  X.  2o )  e.  _V )
19 wrdexg 12265 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( I  X.  2o )  e. 
_V )
20 fvi 5769 . . . . . 6  |-  (Word  (
I  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
2118, 19, 203syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
2215, 21syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
2314, 22eleqtrrd 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  <" <. A ,  (/)
>. ">  e.  W
)
24 frgpup.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  H
)
25 frgpup.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  H )
26 frgpup.t . . . 4  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
27 frgpup.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
28 frgpup.a . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
29 frgpup.g . . . 4  |-  G  =  (freeGrp `  I )
30 frgpup.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
31 frgpup.e . . . 4  |-  E  =  ran  ( g  e.  W  |->  <. [ g ]  .~  ,  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) ) >. )
3224, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31frgpupval 16292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  <" <. A ,  (/) >. ">  e.  W )  ->  ( E `  [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )
) )
3323, 32mpdan 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  <" <. A ,  (/)
>. "> ) ) )
3424, 25, 26, 27, 1, 28frgpuptf 16288 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T : ( I  X.  2o ) --> B )
35 s1co 12482 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o )  /\  T : ( I  X.  2o ) --> B )  ->  ( T  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( T `
 <. A ,  (/) >.
) "> )
3613, 34, 35syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  o.  <"
<. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( T `  <. A ,  (/)
>. ) "> )
37 df-ov 6115 . . . . . . 7  |-  ( A T (/) )  =  ( T `  <. A ,  (/)
>. )
38 iftrue 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y ) ,  ( N `  ( F `  y ) ) )  =  ( F `  y ) )
39 fveq2 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
4038, 39sylan9eqr 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  (/) )  ->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) )  =  ( F `  A ) )
41 fvex 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
4240, 26, 41ovmpt2a 6242 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( A T (/) )  =  ( F `  A ) )
432, 11, 42sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A T (/) )  =  ( F `  A ) )
4437, 43syl5eqr 2489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T `  <. A ,  (/) >. )  =  ( F `  A ) )
4544s1eqd 12313 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" ( T `
 <. A ,  (/) >.
) ">  =  <" ( F `  A ) "> )
4636, 45eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  o.  <"
<. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( F `  A ) "> )
4746oveq2d 6128 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  <"
<. A ,  (/) >. "> ) )  =  ( H  gsumg 
<" ( F `  A ) "> ) )
4828, 2ffvelrnd 5865 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  B )
4924gsumws1 15538 . . . 4  |-  ( ( F `  A )  e.  B  ->  ( H  gsumg 
<" ( F `  A ) "> )  =  ( F `  A ) )
5048, 49syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg 
<" ( F `  A ) "> )  =  ( F `  A ) )
5147, 50eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  <"
<. A ,  (/) >. "> ) )  =  ( F `  A ) )
527, 33, 513eqtrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  A )
)  =  ( F `
 A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993   (/)c0 3658   ifcif 3812   {cpr 3900   <.cop 3904    e. cmpt 4371    _I cid 4652   Oncon0 4740    X. cxp 4859   ran crn 4862    o. ccom 4865   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   1oc1o 6934   2oc2o 6935   [cec 7120  Word cword 12242   <"cs1 12245   Basecbs 14195    gsumg cgsu 14400   Grpcgrp 15431   invgcminusg 15432   ~FG cefg 16224  freeGrpcfrgp 16225  varFGrpcvrgp 16226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-ot 3907  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-ec 7124  df-qs 7128  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-word 12250  df-concat 12252  df-s1 12253  df-substr 12254  df-splice 12255  df-s2 12496  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-imas 14467  df-divs 14468  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-frmd 15548  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-efg 16227  df-frgp 16228  df-vrgp 16229
This theorem is referenced by:  frgpup3  16296
  Copyright terms: Public domain W3C validator