Theorem fvi 6165

Description: The value of the identity function. (Contributed by NM, 1-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fvi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem fvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 5834	. 2 ⊢ Fun I
2		ididg 5197	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 I 𝐴)
3		funbrfv 6144	. 2 ⊢ (Fun I → (𝐴 I 𝐴 → ( I ‘𝐴) = 𝐴))
4	1, 2, 3	mpsyl 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   I cid 4948  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  fviss  6166  fvmpti  6190  fvmpt2  6200  fvresi  6344  seqom0g  7438  fodomfi  8124  seqfeq4  12712  fac1  12926  facp1  12927  bcval5  12967  bcn2  12968  ids1  13230  s1val  13231  climshft2  14161  sum2id  14286  sumss  14302  prod2id  14497  fprodfac  14542  strfvi  15741  xpsc0  16043  xpsc1  16044  grpinvfvi  17286  mulgfvi  17368  efgrcl  17951  efgval  17953  frgp0  17996  frgpmhm  18001  vrgpf  18004  vrgpinv  18005  frgpupf  18009  frgpup1  18011  frgpup2  18012  frgpup3lem  18013  frgpnabllem1  18099  frgpnabllem2  18100  rlmsca2  19022  ply1basfvi  19432  ply1plusgfvi  19433  psr1sca2  19442  ply1sca2  19445  ply1scl0  19481  ply1scl1  19483  indislem  20614  2ndcctbss  21068  1stcelcls  21074  txindislem  21246  iscau3  22884  iscmet3  22899  ovolctb  23065  itg2splitlem  23321  deg1fvi  23649  deg1invg  23670  dgrle  23803  logfac  24151  ptpcon  30469  dicvscacl  35498  elinlem  36923  brfvid  36998  fvilbd  37000