MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vrgpf 18004
Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r = ( ~FG𝐼)
vrgpfval.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
vrgpf.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vrgpf (𝐼𝑉𝑈:𝐼𝑋)

Proof of Theorem vrgpf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4718 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
21prid1 4241 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
3 df2o3 7460 . . . . . . . . 9 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
42, 3eleqtrri 2687 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 2𝑜
5 opelxpi 5072 . . . . . . . 8 ((𝑗𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
64, 5mpan2 703 . . . . . . 7 (𝑗𝐼 → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
87s1cld 13236 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
9 2on 7455 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ On
10 xpexg 6858 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
119, 10mpan2 703 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
13 wrdexg 13170 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
14 fvi 6165 . . . . . 6 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1512, 13, 143syl 18 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
168, 15eleqtrrd 2691 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
17 vrgpf.m . . . . 5 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18 vrgpfval.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
19 eqid 2610 . . . . 5 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
20 vrgpf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
2117, 18, 19, 20frgpeccl 17997 . . . 4 (⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] 𝑋)
2216, 21syl 17 . . 3 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] 𝑋)
23 eqid 2610 . . 3 (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ) = (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] )
2422, 23fmptd 6292 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ):𝐼𝑋)
25 vrgpfval.u . . . 4 𝑈 = (varFGrp𝐼)
2618, 25vrgpfval 18002 . . 3 (𝐼𝑉𝑈 = (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ))
2726feq1d 5943 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑈:𝐼𝑋 ↔ (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ):𝐼𝑋))
2824, 27mpbird 246 1 (𝐼𝑉𝑈:𝐼𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  c0 3874  {cpr 4127  cop 4131  cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  Oncon0 5640  wf 5800  cfv 5804  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441  [cec 7627  Word cword 13146  ⟨“cs1 13149  Basecbs 15695   ~FG cefg 17942  freeGrpcfrgp 17943  varFGrpcvrgp 17944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-s1 13157  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-imas 15991  df-qus 15992  df-frmd 17209  df-frgp 17946  df-vrgp 17947
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18013  frgpup3  18014  0frgp  18015  frgpnabllem2  18100  frgpnabl  18101  frgpcyg  19741
  Copyright terms: Public domain W3C validator