Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupf 18009
 Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupf (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
2 frgpup.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
3 grpmnd 17252 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑊) → 𝐻 ∈ Mnd)
6 frgpup.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
7 fviss 6166 . . . . . . . 8 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
86, 7eqsstri 3598 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
98sseli 3564 . . . . . 6 (𝑔𝑊𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
10 frgpup.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐻)
11 frgpup.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝐻)
12 frgpup.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
13 frgpup.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
14 frgpup.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
1510, 11, 12, 2, 13, 14frgpuptf 18006 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵)
16 wrdco 13428 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
179, 15, 16syl2anr 494 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
1810gsumwcl 17200 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
195, 17, 18syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
20 frgpup.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
216, 20efger 17954 . . . . 5 Er 𝑊
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑 Er 𝑊)
23 fvex 6113 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∈ V
246, 23eqeltri 2684 . . . . 5 𝑊 ∈ V
2524a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ V)
26 coeq2 5202 . . . . 5 (𝑔 = → (𝑇𝑔) = (𝑇))
2726oveq2d 6565 . . . 4 (𝑔 = → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
2810, 11, 12, 2, 13, 14, 6, 20frgpuplem 18008 . . . 4 ((𝜑𝑔 ) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
291, 19, 22, 25, 27, 28qliftfund 7720 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐸)
301, 19, 22, 25qliftf 7722 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐸𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
3129, 30mpbid 221 . 2 (𝜑𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵)
32 frgpup.g . . . . . . 7 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
33 eqid 2610 . . . . . . 7 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
3432, 33, 20frgpval 17994 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
3513, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
36 2on 7455 . . . . . . . . 9 2𝑜 ∈ On
37 xpexg 6858 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
3813, 36, 37sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
39 wrdexg 13170 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
40 fvi 6165 . . . . . . . 8 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
426, 41syl5eq 2656 . . . . . 6 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
43 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
4433, 43frmdbas 17212 . . . . . . 7 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
4538, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
4642, 45eqtr4d 2647 . . . . 5 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
47 fvex 6113 . . . . . . 7 ( ~FG𝐼) ∈ V
4820, 47eqeltri 2684 . . . . . 6 ∈ V
4948a1i 11 . . . . 5 (𝜑 ∈ V)
50 fvex 6113 . . . . . 6 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V)
5235, 46, 49, 51qusbas 16028 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
53 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
5452, 53syl6reqr 2663 . . 3 (𝜑𝑋 = (𝑊 / ))
5554feq2d 5944 . 2 (𝜑 → (𝐸:𝑋𝐵𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
5631, 55mpbird 246 1 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ifcif 4036  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  ran crn 5039   ∘ ccom 5042  Oncon0 5640  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  2𝑜c2o 7441   Er wer 7626  [cec 7627   / cqs 7628  Word cword 13146  Basecbs 15695   Σg cgsu 15924   /s cqus 15988  Mndcmnd 17117  freeMndcfrmd 17207  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246   ~FG cefg 17942  freeGrpcfrgp 17943 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-frmd 17209  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-efg 17945  df-frgp 17946 This theorem is referenced by:  frgpupval  18010  frgpup1  18011
 Copyright terms: Public domain W3C validator