Theorem itg2splitlem 23321

Description: Lemma for itg2split 23322. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2split.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
itg2split.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
itg2split.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2splitlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2splitlem

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
2		itg1cl 23258	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
4		itg2split.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐴 ∈ dom vol)
6		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))
7	6	i1fres 23278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
8	1, 5, 7	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
9		itg1cl 23258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
11		itg2split.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐵 ∈ dom vol)
13		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))
14	13	i1fres 23278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
15	1, 12, 14	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
16		itg1cl 23258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
18	10, 17	readdcld 9948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) ∈ ℝ)
19		itg2split.sf	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
20		itg2split.sg	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
21	19, 20	readdcld 9948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
23		inss1 3795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
24		mblss 23106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	4, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	23, 25	syl5ss 3579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
28		itg2split.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
30		reex 9906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
32		fvex 6113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
33		c0ex 9913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
34	32, 33	ifex 4106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V)
36	32, 33	ifex 4106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V)
38		eqidd 2611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)))
39		eqidd 2611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))
40	31, 35, 37, 38, 39	offval2 6812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))))
41	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))))
42	8, 15	i1fadd 23268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
43	41, 42	eqeltrrd 2689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
44		i1ff 23249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
45	1, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
46		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	syl2an 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
49	48	leidd 10473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
51		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
53		eldifn 3695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
55		elin 3758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
56	54, 55	sylnib 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
57		imnan 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
58	56, 57	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
59	58	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)
60		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
62	52, 61	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = ((𝑓‘𝑦) + 0))
63	48	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
65	64	addid1d 10115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑦) + 0) = (𝑓‘𝑦))
66	62, 65	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = (𝑓‘𝑦))
67	50, 66	breqtrrd 4611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
68	49	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
69		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
71	68, 70	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
72		itg2split.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
73	72	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
74	73	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
75		elun 3715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵))
76	74, 75	syl6bb 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵)))
77	76	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵)))
78		ioran 510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
79	77, 78	syl6bb 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)))
80	79	biimpar 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
81		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)
82		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
83	45, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝑓 Fn ℝ)
84		itg2split.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
85	84	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
86		0e0iccpnf 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
88	85, 87	ifclda 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
89		itg2split.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
90	88, 89	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
91		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐻 Fn ℝ)
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℝ)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐻 Fn ℝ)
94	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ℝ ∈ V)
95		inidm 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
96		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑦))
97		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑦))
98	83, 93, 94, 94, 95, 96, 97	ofrfval 6803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦)))
99	81, 98	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
100	99	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
101	46, 100	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
103	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
104		eldif 3550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈))
105		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
106		nfmpt1 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
107	89, 106	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
108	107, 105	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦)
109	108	nfeq1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦) = 0
110		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑦))
111	110	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻‘𝑥) = 0 ↔ (𝐻‘𝑦) = 0))
112		eldif 3550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈))
113	89	fvmpt2i 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐻‘𝑥) = ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
114		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 0)
115	114	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
116		0cn 9911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℂ
117		fvi 6165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ( I ‘0) = 0
119	115, 118	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)) = 0)
120	113, 119	sylan9eq 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑥) = 0)
121	112, 120	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻‘𝑥) = 0)
122	105, 109, 111, 121	vtoclgaf 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
123	104, 122	sylbir 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
124	103, 123	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
125	102, 124	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
126	80, 125	syldan 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
127	126	anassrs 678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
128	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
129	127, 128	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
130	71, 129	pm2.61dan 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
131		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
132	131	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
133	132	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = (0 + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
134		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
135		ifcl 4080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
136	48, 134, 135	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
137	136	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℂ)
138	137	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℂ)
139	138	addid2d 10116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (0 + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
140	133, 139	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
141	130, 140	breqtrrd 4611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
142	67, 141	pm2.61dan 828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
143		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
144		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
145	143, 144	ifbieq1d 4059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0))
146		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
147	146, 144	ifbieq1d 4059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
148	145, 147	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
149		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))
150		ovex 6577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) ∈ V
151	148, 149, 150	fvmpt 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
152	103, 151	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
153	142, 152	breqtrrd 4611	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦))
154	1, 27, 29, 43, 153	itg1lea 23285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
155	41	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
156	8, 15	itg1add 23274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
157	155, 156	eqtr3d 2646	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
158	154, 157	breqtrd 4609	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
159	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
160	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
161		ssun1 3738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
162	161, 72	syl5sseqr 3617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
163	162	sselda 3568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
164	163	adantlr 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
165	164, 85	syldan 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
166	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
167	165, 166	ifclda 4070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
168		itg2split.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
169	167, 168	fmptd 6292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
170	169	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
171		nfv 1830	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
172		nfv 1830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
173		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑓
174		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ∘𝑟 ≤
175	173, 174, 107	nfbr 4629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻
176	172, 175	nfan 1816	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)
177	171, 176	nfan 1816	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻))
178	5, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
179	178	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
180	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
181	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
182	88	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
183	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
184	183	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑥)))
185	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
186	180, 181, 182, 184, 185	ofrfval2 6813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
187	186	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
188	187	impr 647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
189	188	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
190	179, 189	syldan 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
191	163	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
192	191	iftrued 4044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
193	190, 192	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ 𝐶)
194		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
195	194	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
196		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
197	196	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
198	193, 195, 197	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
199		0le0 10987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 0
200	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 0)
201		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = 0)
202		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
203	200, 201, 202	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
204	203	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
205	198, 204	pm2.61dan 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
206	205	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
207	177, 206	ralrimi 2940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
208	168	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
209	31, 35, 167, 38, 208	ofrfval2 6813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
210	209	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
211	207, 210	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐹)
212		itg2ub 23306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
213	170, 8, 211, 212	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
214		ssun2 3739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
215	214, 72	syl5sseqr 3617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
216	215	sselda 3568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
217	216	adantlr 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
218	217, 85	syldan 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
219	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
220	218, 219	ifclda 4070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
221		itg2split.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
222	220, 221	fmptd 6292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
223	222	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
224		mblss 23106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
225	12, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
226	225	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
227	226, 189	syldan 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
228	216	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
229	228	iftrued 4044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
230	227, 229	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑥) ≤ 𝐶)
231		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
232	231	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
233		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
234	233	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
235	230, 232, 234	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
236	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 0)
237		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = 0)
238		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
239	236, 237, 238	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
240	239	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
241	235, 240	pm2.61dan 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
242	241	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
243	177, 242	ralrimi 2940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
244	221	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
245	31, 37, 220, 39, 244	ofrfval2 6813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
246	245	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
247	243, 246	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐺)
248		itg2ub 23306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐺) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐺))
249	223, 15, 247, 248	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐺))
250	10, 17, 159, 160, 213, 249	le2addd 10525	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
251	3, 18, 22, 158, 250	letrd 10073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
252	251	expr 641	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
253	252	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
254	21	rexrd 9968	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*)
255		itg2leub 23307	. . 3 ⊢ ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))))
256	90, 254, 255	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))))
257	253, 256	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   I cid 4948  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   ∘_𝑟 cofr 6794  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  vol*covol 23038  volcvol 23039  ∫₁citg1 23190  ∫₂citg2 23191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196

This theorem is referenced by:  itg2split  23322