Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2leub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2leub 23307
 Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹 is greater than (∫2‘𝐹), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2leub ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹

Proof of Theorem itg2leub
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
21itg2val 23301 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
32adantr 480 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
43breq1d 4593 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
51itg2lcl 23300 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
6 supxrleub 12028 . . . . 5 (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
75, 6mpan 702 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
87adantl 481 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
9 eqeq1 2614 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (∫1𝑔) ↔ 𝑧 = (∫1𝑔)))
109anbi2d 736 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) ↔ (𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔))))
1110rexbidv 3034 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔))))
1211ralab 3334 . . . 4 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴 ↔ ∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴))
13 r19.23v 3005 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴))
14 ancomst 467 . . . . . . . . 9 (((𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ((𝑧 = (∫1𝑔) ∧ 𝑔𝑟𝐹) → 𝑧𝐴))
15 impexp 461 . . . . . . . . 9 (((𝑧 = (∫1𝑔) ∧ 𝑔𝑟𝐹) → 𝑧𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
1614, 15bitri 263 . . . . . . . 8 (((𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
1716ralbii 2963 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
1813, 17bitr3i 265 . . . . . 6 ((∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
1918albii 1737 . . . . 5 (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
20 ralcom4 3197 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ dom ∫1𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
21 fvex 6113 . . . . . . . 8 (∫1𝑔) ∈ V
22 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑧𝐴 ↔ (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2322imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑧 = (∫1𝑔) → ((𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴) ↔ (𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
2421, 23ceqsalv 3206 . . . . . . 7 (∀𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)) ↔ (𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2524ralbii 2963 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ dom ∫1𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2620, 25bitr3i 265 . . . . 5 (∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2719, 26bitri 263 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2812, 27bitri 263 . . 3 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
298, 28syl6bb 275 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
304, 29bitrd 267 1 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑟 cofr 6794  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  ∫1citg1 23190  ∫2citg2 23191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196 This theorem is referenced by:  itg2itg1  23309  itg2le  23312  itg2seq  23315  itg2lea  23317  itg2mulclem  23319  itg2splitlem  23321  itg2split  23322  itg2mono  23326  ftc1anclem5  32659
 Copyright terms: Public domain W3C validator