Theorem itg2itg1 23309

Description: The integral of a nonnegative simple function using ∫₂ is the same as its value under ∫₁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2itg1	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹))

Proof of Theorem itg2itg1

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1le 23286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))
2	1	3expia 1259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
3	2	ancoms 468	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
4	3	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
6		i1ff 23249	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		xrge0f 23304	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
8	6, 7	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
9		itg1cl 23258	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 9968	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*)
12		itg2leub 23307	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))))
13	8, 11, 12	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))))
14	5, 13	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹))
15		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
16		reex 9906	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
18		leid 10012	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ 𝑥)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝑥)
20	17, 6, 19	caofref 6821	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
22		itg2ub 23306	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))
23	8, 15, 21, 22	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))
24		itg2cl 23305	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
25	8, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
26		xrletri3 11861	. . 3 ⊢ (((∫2‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹) ↔ ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ∧ (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))))
27	25, 11, 26	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ((∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹) ↔ ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ∧ (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))))
28	14, 23, 27	mpbir2and 959	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑟 cofr 6794  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  ∫₁citg1 23190  ∫₂citg2 23191  0_𝑝c0p 23242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-0p 23243

This theorem is referenced by:  itg20  23310  itg2const  23313  itg2i1fseq  23328  i1fibl  23380  itgitg1  23381  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662