Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2lea 23317
 Description: Approximate version of itg2le 23312. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫2𝐹 ≤ ∫2𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2lea.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2lea (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
3 simprl 790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
4 itg2lea.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6 itg2lea.4 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (vol*‘𝐴) = 0)
8 i1ff 23249 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
98ad2antrl 760 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
10 eldifi 3694 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
129, 10, 11syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
1312rexrd 9968 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ*)
14 iccssxr 12127 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
17 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
1816, 10, 17syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
1914, 18sseldi 3566 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
20 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
212, 10, 20syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
2214, 21sseldi 3566 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
23 simprr 792 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝑓𝑟𝐹)
24 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
259, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝑓 Fn ℝ)
26 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝐹 Fn ℝ)
28 reex 9906 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ℝ ∈ V)
30 inidm 3784 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
31 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
32 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3325, 27, 29, 29, 30, 31, 32ofrfval 6803 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (𝑓𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3423, 33mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
3534r19.21bi 2916 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
3610, 35sylan2 490 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
37 itg2lea.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3837adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3913, 19, 22, 36, 38xrletrd 11869 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
402, 3, 5, 7, 39itg2uba 23316 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺))
4140expr 641 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺)))
4241ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺)))
43 itg2cl 23305 . . . 4 (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
441, 43syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
45 itg2leub 23307 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺))))
4615, 44, 45syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺))))
4742, 46mpbird 246 1 (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑟 cofr 6794  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  vol*covol 23038  ∫1citg1 23190  ∫2citg2 23191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196 This theorem is referenced by:  itg2eqa  23318
 Copyright terms: Public domain W3C validator