Theorem i1ff 23249

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 23247	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 479	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1066	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  volcvol 23039  MblFncmbf 23189  ∫₁citg1 23190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-sum 14265  df-itg1 23195

This theorem is referenced by:  i1fima  23251  i1fima2  23252  i1f0rn  23255  itg1val2  23257  itg1cl  23258  itg1ge0  23259  i1faddlem  23266  i1fmullem  23267  i1fadd  23268  i1fmul  23269  itg1addlem4  23272  itg1addlem5  23273  i1fmulclem  23275  i1fmulc  23276  itg1mulc  23277  i1fres  23278  i1fpos  23279  i1fposd  23280  i1fsub  23281  itg1sub  23282  itg10a  23283  itg1ge0a  23284  itg1lea  23285  itg1le  23286  itg1climres  23287  mbfi1fseqlem5  23292  mbfi1fseqlem6  23293  mbfi1flimlem  23295  mbfmullem2  23297  itg2itg1  23309  itg20  23310  itg2le  23312  itg2seq  23315  itg2uba  23316  itg2lea  23317  itg2mulclem  23319  itg2splitlem  23321  itg2split  23322  itg2monolem1  23323  itg2i1fseqle  23327  itg2i1fseq  23328  itg2addlem  23331  i1fibl  23380  itgitg1  23381  itg2addnclem  32631  itg2addnclem2  32632  itg2addnclem3  32633  itg2addnc  32634  ftc1anclem3  32657  ftc1anclem4  32658  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662  ftc1anc  32663