MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Structured version   Unicode version

Theorem itg2lea 22445
Description: Approximate version of itg2le 22440. If  F  <_  G for almost all  x, then  S.2 F  <_  S.2 G. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2lea.2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2lea.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2lea.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itg2lea.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg2lea  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
3 simprl 758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
4 itg2lea.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  A  C_  RR )
6 itg2lea.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
8 i1ff 22377 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
98ad2antrl 728 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  f : RR
--> RR )
10 eldifi 3567 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
11 ffvelrn 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  e.  RR )
129, 10, 11syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR )
1312rexrd 9675 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR* )
14 iccssxr 11663 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
17 ffvelrn 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1816, 10, 17syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1914, 18sseldi 3442 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR* )
20 ffvelrn 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
212, 10, 20syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2214, 21sseldi 3442 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  RR* )
23 simprr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  f  oR  <_  F )
24 ffn 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
259, 24syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  f  Fn  RR )
26 ffn 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  RR )
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  F  Fn  RR )
28 reex 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  RR  e.  _V )
30 inidm 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
31 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  =  ( f `
 x ) )
32 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 x ) )
3325, 27, 29, 29, 30, 31, 32ofrfval 6531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( f  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3423, 33mpbid 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
)
3534r19.21bi 2775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
3610, 35sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
37 itg2lea.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
3837adantlr 715 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  <_  ( G `  x ) )
3913, 19, 22, 36, 38xrletrd 11420 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( G `  x ) )
402, 3, 5, 7, 39itg2uba 22444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G ) )
4140expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
4241ralrimiva 2820 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) )
43 itg2cl 22433 . . . 4  |-  ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  G )  e.  RR* )
441, 43syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
45 itg2leub 22435 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) ) )
4615, 44, 45syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G
) ) ) )
4742, 46mpbird 234 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    C_ wss 3416   class class class wbr 4397   dom cdm 4825    Fn wfn 5566   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    oRcofr 6522   RRcr 9523   0cc0 9524   +oocpnf 9657   RR*cxr 9659    <_ cle 9661   [,]cicc 11587   vol*covol 22168   S.1citg1 22318   S.2citg2 22319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-sum 13660  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-cmp 20182  df-ovol 22170  df-vol 22171  df-mbf 22322  df-itg1 22323  df-itg2 22324
This theorem is referenced by:  itg2eqa  22446
  Copyright terms: Public domain W3C validator