MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Structured version   Unicode version

Theorem itg2lea 21241
Description: Approximate version of itg2le 21236. If  F  <_  G for almost all  x, then  S.2 F  <_  S.2 G. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2lea.2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2lea.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2lea.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itg2lea.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg2lea  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
3 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
4 itg2lea.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  A  C_  RR )
6 itg2lea.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
8 i1ff 21173 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
98ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  f : RR
--> RR )
10 eldifi 3497 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
11 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  e.  RR )
129, 10, 11syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR )
1312rexrd 9452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR* )
14 iccssxr 11397 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
17 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1816, 10, 17syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1914, 18sseldi 3373 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR* )
20 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
212, 10, 20syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2214, 21sseldi 3373 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  RR* )
23 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  f  oR  <_  F )
24 ffn 5578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
259, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  f  Fn  RR )
26 ffn 5578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  RR )
2716, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  F  Fn  RR )
28 reex 9392 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  RR  e.  _V )
30 inidm 3578 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
31 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  =  ( f `
 x ) )
32 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 x ) )
3325, 27, 29, 29, 30, 31, 32ofrfval 6347 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( f  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3423, 33mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
)
3534r19.21bi 2833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
3610, 35sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
37 itg2lea.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
3837adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  <_  ( G `  x ) )
3913, 19, 22, 36, 38xrletrd 11155 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( G `  x ) )
402, 3, 5, 7, 39itg2uba 21240 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G ) )
4140expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
4241ralrimiva 2818 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) )
43 itg2cl 21229 . . . 4  |-  ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  G )  e.  RR* )
441, 43syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
45 itg2leub 21231 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) ) )
4615, 44, 45syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G
) ) ) )
4742, 46mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   _Vcvv 2991    \ cdif 3344    C_ wss 3347   class class class wbr 4311   dom cdm 4859    Fn wfn 5432   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    oRcofr 6338   RRcr 9300   0cc0 9301   +oocpnf 9434   RR*cxr 9436    <_ cle 9438   [,]cicc 11322   vol*covol 20965   S.1citg1 21114   S.2citg2 21115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-disj 4282  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-ofr 6340  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-sum 13183  df-rest 14380  df-topgen 14401  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-cmp 19009  df-ovol 20967  df-vol 20968  df-mbf 21118  df-itg1 21119  df-itg2 21120
This theorem is referenced by:  itg2eqa  21242
  Copyright terms: Public domain W3C validator