Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2uba 23316
 Description: Approximate version of itg2ub 23306. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫1𝐺 ≤ ∫2𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2uba.2 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg2uba.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2uba.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2uba (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 23258 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
43rexrd 9968 . 2 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ*)
5 itg2uba.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 itg2uba.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7 nulmbl 23110 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
85, 6, 7syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
9 cmmbl 23109 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11 ifnot 4083 . . . . . . . 8 if(¬ 𝑥𝐴, (𝐺𝑥), 0) = if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))
12 eldif 3550 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴))
1312baibr 943 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥𝐴𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
1413ifbid 4058 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → if(¬ 𝑥𝐴, (𝐺𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1511, 14syl5eqr 2658 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1615mpteq2ia 4668 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1716i1fres 23278 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1)
181, 10, 17syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1)
19 itg1cl 23258 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ)
2120rexrd 9968 . 2 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ*)
22 itg2uba.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
23 itg2cl 23305 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
25 i1ff 23249 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
261, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
27 eldifi 3694 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
28 ffvelrn 6265 . . . . . 6 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
2926, 27, 28syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
3029leidd 10473 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ≤ (𝐺𝑦))
31 eldif 3550 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝐴))
32 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
33 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑦))
3432, 33ifbieq2d 4061 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)))
35 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))
36 c0ex 9913 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
37 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑦) ∈ V
3836, 37ifex 4106 . . . . . . . 8 if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)) ∈ V
3934, 35, 38fvmpt 6191 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)))
40 iffalse 4045 . . . . . . 7 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)) = (𝐺𝑦))
4139, 40sylan9eq 2664 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4231, 41sylbi 206 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4342adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4430, 43breqtrrd 4611 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦))
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 23285 . 2 (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))))
46 iftrue 4042 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = 0)
4746adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = 0)
4822ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
49 elxrge0 12152 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5048, 49sylib 207 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5150simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
5251adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
5347, 52eqbrtrd 4605 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
54 iffalse 4045 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
5554adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5712, 56sylan2br 492 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5857anassrs 678 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5955, 58eqbrtrd 4605 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
6053, 59pm2.61dan 828 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
6160ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
62 reex 9906 . . . . . 6 ℝ ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
64 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝐺𝑥) ∈ V
6536, 64ifex 4106 . . . . . 6 if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ∈ V)
67 fvex 6113 . . . . . 6 (𝐹𝑥) ∈ V
6867a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ V)
69 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))))
7022feqmptd 6159 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
7163, 66, 68, 69, 70ofrfval2 6813 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
7261, 71mpbird 246 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘𝑟𝐹)
73 itg2ub 23306 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ≤ (∫2𝐹))
7422, 18, 72, 73syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ≤ (∫2𝐹))
754, 21, 24, 45, 74xrletrd 11869 1 (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑟 cofr 6794  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  vol*covol 23038  volcvol 23039  ∫1citg1 23190  ∫2citg2 23191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196 This theorem is referenced by:  itg2lea  23317  itg2split  23322
 Copyright terms: Public domain W3C validator