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Theorem itg2leub 22310
Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 
G dominated by  F is greater than  ( S.2 `  F
), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2leub  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( S.2 `  F
)  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F

Proof of Theorem itg2leub
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  =  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }
21itg2val 22304 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
32adantr 463 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  A  e.  RR* )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
43breq1d 4449 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( S.2 `  F
)  <_  A  <->  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A
) )
51itg2lcl 22303 . . . . 5  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  C_  RR*
6 supxrleub 11521 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }  C_  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
75, 6mpan 668 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
87adantl 464 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
9 eqeq1 2458 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( S.1 `  g )  <->  z  =  ( S.1 `  g ) ) )
109anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) )  <->  ( g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) ) ) )
1110rexbidv 2965 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) )  <->  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) ) ) )
1211ralab 3257 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. g  e. 
dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )
)
13 r19.23v 2934 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 (
( g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  ->  z  <_  A ) )
14 ancomst 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( (
z  =  ( S.1 `  g )  /\  g  oR  <_  F )  ->  z  <_  A
) )
15 impexp 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  =  ( S.1 `  g )  /\  g  oR  <_  F )  -> 
z  <_  A )  <->  ( z  =  ( S.1 `  g )  ->  (
g  oR  <_  F  ->  z  <_  A
) ) )
1614, 15bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  oR  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1716ralbii 2885 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 (
( g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  oR  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1813, 17bitr3i 251 . . . . . 6  |-  ( ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  oR  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1918albii 1645 . . . . 5  |-  ( A. z ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )  <->  A. z A. g  e. 
dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  oR  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
20 ralcom4 3125 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  oR  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  A. z A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  oR  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
21 fvex 5858 . . . . . . . 8  |-  ( S.1 `  g )  e.  _V
22 breq1 4442 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( S.1 `  g
)  <_  A )
)
2322imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( (
g  oR  <_  F  ->  z  <_  A
)  <->  ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
2421, 23ceqsalv 3134 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  oR  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2524ralbii 2885 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  oR  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2620, 25bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( A. z A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g )  ->  ( g  oR  <_  F  ->  z  <_  A ) )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2719, 26bitri 249 . . . 4  |-  ( A. z ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2812, 27bitri 249 . . 3  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } z  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
298, 28syl6bb 261 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
304, 29bitrd 253 1  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( S.2 `  F
)  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oRcofr 6512   supcsup 7892   RRcr 9480   0cc0 9481   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   [,]cicc 11535   S.1citg1 22193   S.2citg2 22194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594  df-xmet 18610  df-met 18611  df-ovol 22045  df-vol 22046  df-mbf 22197  df-itg1 22198  df-itg2 22199
This theorem is referenced by:  itg2itg1  22312  itg2le  22315  itg2seq  22318  itg2lea  22320  itg2mulclem  22322  itg2splitlem  22324  itg2split  22325  itg2mono  22329  ftc1anclem5  30337
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