Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2mulc 23320
 Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulc.4 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
itg2mulc (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulc
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3 itg2mulc.3 . . . . 5 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
5 itg2mulc.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6 elrege0 12149 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
75, 6sylib 207 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
87simpld 474 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98anim1i 590 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10 elrp 11710 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
119, 10sylibr 223 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
122, 4, 11itg2mulclem 23319 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))
13 ge0mulcl 12156 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15 fconst6g 6007 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
165, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
17 reex 9906 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
19 inidm 3784 . . . . . . . 8 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2014, 16, 1, 18, 18, 19off 6810 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
22 icossicc 12131 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
23 fss 5969 . . . . . . . . 9 ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
2420, 22, 23sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
268, 3remulcld 9949 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ)
28 itg2lecl 23311 . . . . . . 7 ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ)
2925, 27, 12, 28syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ)
3011rpreccld 11758 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3121, 29, 30itg2mulclem 23319 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))) ≤ ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))))
322feqmptd 6159 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
33 rge0ssre 12151 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
3533, 34sstri 3577 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
36 fss 5969 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
371, 35, 36sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3938ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4039mulid2d 9937 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
4140mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4232, 41eqtr4d 2647 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹𝑦))))
4317a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ℝ ∈ V)
44 1red 9934 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
4543, 30, 11ofc12 6820 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}))
46 fconstmpt 5085 . . . . . . . . . 10 (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴))
4745, 46syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)))
488recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5011rpne0d 11753 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
5149, 50recid2d 10676 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5251mpteq2dv 4673 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5347, 52eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5443, 44, 39, 53, 32offval2 6812 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · (ℝ × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹𝑦))))
5530rpcnd 11750 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
56 fconst6g 6007 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
58 fconst6g 6007 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
5949, 58syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
60 mulass 9903 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
6160adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
6243, 57, 59, 38, 61caofass 6829 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · (ℝ × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
6342, 54, 623eqtr2d 2650 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
6463fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2𝐹) = (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))))
6529recnd 9947 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℂ)
6665, 49, 50divrec2d 10684 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))))
6731, 64, 663brtr4d 4615 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) / 𝐴))
684, 29, 11lemuldiv2d 11798 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) / 𝐴)))
6967, 68mpbird 246 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
70 itg2cl 23305 . . . . . 6 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ*)
7124, 70syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ*)
7226rexrd 9968 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*)
73 xrletri3 11861 . . . . 5 (((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))))
7471, 72, 73syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))))
7574adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))))
7612, 69, 75mpbir2and 959 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
7717a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ℝ ∈ V)
7837adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
798adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
80 0re 9919 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
82 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 = 𝐴)
8382oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
84 mul02 10093 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
8584adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
8683, 85eqtr3d 2646 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
8777, 78, 79, 81, 86caofid2 6826 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (ℝ × {0}))
8887fveq2d 6107 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (∫2‘(ℝ × {0})))
89 itg20 23310 . . . 4 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
9088, 89syl6eq 2660 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = 0)
913adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
9291recnd 9947 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℂ)
9392mul02d 10113 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2𝐹)) = 0)
94 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
9594oveq1d 6564 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
9690, 93, 953eqtr2d 2650 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
977simprd 478 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
98 leloe 10003 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9980, 8, 98sylancr 694 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
10097, 99mpbid 221 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
10176, 96, 100mpjaodan 823 1 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  ∫2citg2 23191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  iblmulc2  23403  itgmulc2lem1  23404  bddmulibl  23411  iblmulc2nc  32645  itgmulc2nclem1  32646
 Copyright terms: Public domain W3C validator