Theorem addid2d 10116

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addid2d	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addid2 10098	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  negeu  10150  subge0  10420  sublt0d  10532  un0addcl  11203  lincmb01cmp  12186  ico01fl0  12482  discr  12863  ccatlid  13222  swrdswrd0  13314  cats1un  13327  swrdccatin2  13338  cshwidx0mod  13402  cshw1  13419  relexpaddg  13641  rennim  13827  max0add  13898  fsumsplit  14318  sumsplit  14341  isumsplit  14411  arisum2  14432  binomfallfaclem2  14610  efaddlem  14662  eftlub  14678  ef4p  14682  rpnnen2lem11  14792  moddvds  14829  divalglem9  14962  sadadd2lem2  15010  sadcaddlem  15017  pcmpt  15434  4sqlem11  15497  vdwlem6  15528  gsumccat  17201  mulgnn0dir  17394  sylow1lem1  17836  efgsval2  17969  efgsp1  17973  zaddablx  18098  pgpfaclem1  18303  mplcoe5  19289  regsumfsum  19633  regsumsupp  19787  nrmmetd  22189  blcvx  22409  xrsxmet  22420  reparphti  22605  nulmbl  23110  itg2splitlem  23321  itg2split  23322  itg2monolem1  23323  itgsplitioo  23410  ditgsplit  23431  dvcnp2  23489  dvcmul  23513  dvcmulf  23514  dvmptcmul  23533  dveflem  23546  dvef  23547  dvlipcn  23561  dvlt0  23572  plymullem1  23774  coeeulem  23784  dgradd2  23828  dgrmulc  23831  plydivlem3  23854  aareccl  23885  taylthlem1  23931  sin2kpi  24039  cos2kpi  24040  coshalfpim  24051  sinkpi  24075  chordthmlem3  24361  chordthmlem5  24363  dcubic1lem  24370  dcubic  24373  atancj  24437  atanlogaddlem  24440  atanlogsublem  24442  scvxcvx  24512  zetacvg  24541  ftalem5  24603  ftalem7  24605  basellem3  24609  chtublem  24736  rplogsumlem2  24974  dchrisumlem1  24978  pntrlog2bndlem2  25067  brbtwn2  25585  axlowdimlem16  25637  axeuclidlem  25642  bcm1n  28941  2sqn0  28977  esumpfinvallem  29463  signsplypnf  29953  signstfvn  29972  cvxpcon  30478  cvxscon  30479  fwddifnp1  31442  tan2h  32571  poimirlem16  32595  mbfposadd  32627  itg2addnc  32634  ftc1anclem5  32659  bfplem2  32792  pellexlem6  36416  jm2.18  36573  relexpaddss  37029  int-add02d  37510  sub2times  38426  fzisoeu  38455  xralrple2  38511  cosknegpi  38752  dvsinax  38801  dvasinbx  38810  dvnxpaek  38832  dvnmul  38833  stoweidlem1  38894  stoweidlem13  38906  stoweidlem42  38935  stirlinglem5  38971  stirlinglem11  38977  fourierdlem42  39042  fourierdlem51  39050  fourierdlem88  39087  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem107  39106  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122  fouriersw  39124  elaa2lem  39126  hspmbllem1  39516  pfxpfx  40278  cnambpcma  40341  eucrct2eupth  41413  altgsumbcALT  41924  nn0sumshdiglemA  42211