MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0iccpnf 12154
Description: 0 is a member of (0[,]+∞) (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 9965 . 2 0 ∈ ℝ*
2 0le0 10987 . 2 0 ≤ 0
3 elxrge0 12152 . 2 (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 957 1 0 ∈ (0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  *cxr 9952  cle 9954  [,]cicc 12049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-icc 12053
This theorem is referenced by:  xrge0subm  19606  itg2const2  23314  itg2splitlem  23321  itg2split  23322  itg2gt0  23333  itg2cnlem2  23335  itg2cn  23336  iblss  23377  itgle  23382  itgeqa  23386  ibladdlem  23392  iblabs  23401  iblabsr  23402  iblmulc2  23403  bddmulibl  23411  xrge0infss  28915  xrge00  29017  unitssxrge0  29274  xrge0mulc1cn  29315  esum0  29438  esumpad  29444  esumpad2  29445  esumrnmpt2  29457  esumpinfval  29462  esummulc1  29470  ddemeas  29626  oms0  29686  itg2gt0cn  32635  ibladdnclem  32636  iblabsnc  32644  iblmulc2nc  32645  bddiblnc  32650  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662  ftc1anc  32663  iblsplit  38858  gsumge0cl  39264  sge0cl  39274  sge0ss  39305  0ome  39419  ovnf  39453
  Copyright terms: Public domain W3C validator