MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  offval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem offval2 6812
Description: The function operation expressed as a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
offval2.1 (𝜑𝐴𝑉)
offval2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
offval2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑋)
offval2.4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐵))
offval2.5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴𝐶))
Assertion
Ref Expression
offval2 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem offval2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 offval2.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
21ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊)
3 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
43fnmpt 5933 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑊 → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
6 offval2.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐵))
76fneq1d 5895 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴))
85, 7mpbird 246 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
9 offval2.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑋)
109ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐶𝑋)
11 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
1211fnmpt 5933 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐶𝑋 → (𝑥𝐴𝐶) Fn 𝐴)
1310, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) Fn 𝐴)
14 offval2.5 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴𝐶))
1514fneq1d 5895 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Fn 𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝐶) Fn 𝐴))
1613, 15mpbird 246 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
17 offval2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
18 inidm 3784 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
196adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵))
2019fveq1d 6105 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
2114adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶))
2221fveq1d 6105 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐺𝑦) = ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))
238, 16, 17, 17, 18, 20, 22offval 6802 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))))
24 nffvmpt1 6111 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
25 nfcv 2751 . . . . 5 𝑥𝑅
26 nffvmpt1 6111 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦)
2724, 25, 26nfov 6575 . . . 4 𝑥(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))
28 nfcv 2751 . . . 4 𝑦(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥))
29 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
30 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥))
3129, 30oveq12d 6567 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦)) = (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥)))
3227, 28, 31cbvmpt 4677 . . 3 (𝑦𝐴 ↦ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))) = (𝑥𝐴 ↦ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥)))
33 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
343fvmpt2 6200 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵𝑊) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3533, 1, 34syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3611fvmpt2 6200 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐶𝑋) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
3733, 9, 36syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
3835, 37oveq12d 6567 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥)) = (𝐵𝑅𝐶))
3938mpteq2dva 4672 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
4032, 39syl5eq 2656 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)𝑅((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
4123, 40eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  cmpt 4643   Fn wfn 5799  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑓 cof 6793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795
This theorem is referenced by:  ofmpteq  6814  ofc12  6820  caofinvl  6822  caofcom  6827  caofass  6829  caofdi  6831  caofdir  6832  caonncan  6833  offval22  7140  ofccat  13556  ofs1  13557  o1add2  14202  o1mul2  14203  o1sub2  14204  o1dif  14208  fsumo1  14385  pwsplusgval  15973  pwsmulrval  15974  pwsvscafval  15977  pwsco1mhm  17193  pwsco2mhm  17194  pwssub  17352  gsumzaddlem  18144  gsummptfsadd  18147  gsummptfidmadd2  18149  gsumzsplit  18150  gsumsub  18171  gsummptfssub  18172  dprdfadd  18242  dprdfsub  18243  dprdfeq0  18244  dprdf11  18245  lmhmvsca  18866  rrgsupp  19112  psrbagaddcl  19191  psrass1lem  19198  psrlinv  19218  psrass1  19226  psrdi  19227  psrdir  19228  psrass23l  19229  psrcom  19230  psrass23  19231  mplsubrglem  19260  mplmonmul  19285  mplcoe1  19286  mplcoe3  19287  mplcoe5  19289  mplmon2  19314  evlslem1  19336  coe1sclmul  19473  coe1sclmul2  19475  uvcresum  19951  grpvrinv  20021  mhmvlin  20022  mamudi  20028  mamudir  20029  mdetunilem9  20245  tsmssub  21762  tgptsmscls  21763  tsmssplit  21765  tsmsxplem2  21767  ovolctb  23065  mbfmulc2re  23221  mbfneg  23223  mbfadd  23234  mbfsub  23235  mbfmulc2  23236  mbfmul  23299  itg2const  23313  itg2mulclem  23319  itg2mulc  23320  itg2splitlem  23321  itg2monolem1  23323  i1fibl  23380  itgitg1  23381  ibladdlem  23392  ibladd  23393  itgaddlem1  23395  iblabslem  23400  iblabs  23401  iblmulc2  23403  itgmulc2lem1  23404  bddmulibl  23411  dvmulf  23512  dvcmulf  23514  dvcof  23517  dvexp  23522  dvmptadd  23529  dvmptmul  23530  dvmptco  23541  dvef  23547  dv11cn  23568  itgsubstlem  23615  mdegmullem  23642  plypf1  23772  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  plyco  23801  dgrcolem1  23833  dgrcolem2  23834  plydiveu  23857  plyremlem  23863  elqaalem3  23880  iaa  23884  taylply2  23926  ulmdvlem1  23958  iblulm  23965  jensenlem2  24514  amgmlem  24516  ftalem7  24605  basellem8  24614  basellem9  24615  dchrmulid2  24777  dchrinvcl  24778  dchrfi  24780  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  chtppilimlem2  24963  chebbnd2  24966  chto1lb  24967  chpchtlim  24968  chpo1ub  24969  vmadivsum  24971  rpvmasumlem  24976  mudivsum  25019  selberglem1  25034  selberglem2  25035  selberg2lem  25039  selberg2  25040  pntrsumo1  25054  selbergr  25057  ofoprabco  28847  pl1cn  29329  esumadd  29446  poimirlem16  32595  poimirlem19  32598  itg2addnclem  32631  itg2addnclem3  32633  ibladdnclem  32636  itgaddnclem1  32638  iblabsnclem  32643  iblabsnc  32644  iblmulc2nc  32645  itgmulc2nclem1  32646  itgmulc2nclem2  32647  itgmulc2nc  32648  itgabsnc  32649  ftc1anclem3  32657  ftc1anclem4  32658  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662  mendlmod  36782  mendassa  36783  expgrowthi  37554  expgrowth  37556  binomcxplemrat  37571  mulcncff  38753  subcncff  38765  addcncff  38770  divcncff  38777  dvsubf  38802  dvdivf  38812  fourierdlem16  39016  fourierdlem21  39021  fourierdlem22  39022  fourierdlem58  39057  fourierdlem59  39058  fourierdlem72  39071  fourierdlem83  39082  offvalfv  41914  aacllem  42356  amgmwlem  42357  amgmlemALT  42358
  Copyright terms: Public domain W3C validator