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Theorem itg2splitlem 22785
Description: Lemma for itg2split 22786. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2split.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
itg2split.i  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
itg2split.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
itg2split.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
itg2split.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
itg2split.g  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
itg2split.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
itg2split.sf  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2split.sg  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, U
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)    H( x)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 772 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
2 itg1cl 22722 . . . . . 6  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
4 itg2split.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
54adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A  e.  dom  vol )
6 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) )
76i1fres 22742 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
81, 5, 7syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
9 itg1cl 22722 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11 itg2split.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
1211adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  B  e.  dom  vol )
13 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )
1413i1fres 22742 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
151, 12, 14syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
16 itg1cl 22722 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1715, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1810, 17readdcld 9688 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
19 itg2split.sf . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
20 itg2split.sg . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
2119, 20readdcld 9688 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
2221adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR )
23 inss1 3643 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
24 mblss 22563 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
254, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2623, 25syl5ss 3429 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  RR )
2726adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  RR )
28 itg2split.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
2928adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
30 reex 9648 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
32 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
33 c0ex 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
3432, 33ifex 3940 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V )
3632, 33ifex 3940 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V )
38 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
39 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
4031, 35, 37, 38, 39offval2 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )
4140adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) ) )
428, 15i1fadd 22732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  dom  S.1 )
4341, 42eqeltrrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  dom  S.1 )
44 i1ff 22713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f : RR
--> RR )
46 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  y  e.  RR )
47 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  e.  RR )
4845, 46, 47syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  e.  RR )
4948leidd 10201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( f `  y ) )
5049adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( f `  y
) )
51 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
53 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  -.  y  e.  ( A  i^i  B ) )
5453adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  -.  y  e.  ( A  i^i  B ) )
55 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
5654, 55sylnib 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  -.  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )
57 imnan 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  B
)  <->  -.  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
5856, 57sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  y  e.  B
) )
5958imp 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  -.  y  e.  B )
60 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  B  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
6252, 61oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( ( f `  y )  +  0 ) )
6348recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  e.  CC )
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  CC )
6564addid1d 9851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
( f `  y
)  +  0 )  =  ( f `  y ) )
6662, 65eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( f `
 y ) )
6750, 66breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) ) )
6849ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
f `  y )  <_  ( f `  y
) )
69 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
7069adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
7168, 70breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
f `  y )  <_  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) )
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7372ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7473eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  U  <->  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
75 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
7674, 75syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  U  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B )
) )
7776notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( -.  y  e.  U  <->  -.  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) ) )
78 ioran 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  <->  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )
7977, 78syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( -.  y  e.  U  <->  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) ) )
8079biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )  ->  -.  y  e.  U )
81 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f  oR  <_  H )
82 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
8345, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f  Fn  RR )
84 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8584adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
86 0e0iccpnf 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  U )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8885, 87ifclda 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
89 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
9088, 89fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
91 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  H  Fn  RR )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  H  Fn  RR )
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  H  Fn  RR )
9430a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  RR  e.  _V )
95 inidm 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
96 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  =  ( f `
 y ) )
97 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( H `  y
)  =  ( H `
 y ) )
9883, 93, 94, 94, 95, 96, 97ofrfval 6558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( f  oR  <_  H  <->  A. y  e.  RR  ( f `  y )  <_  ( H `  y )
) )
9981, 98mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. y  e.  RR  ( f `  y )  <_  ( H `  y )
)
10099r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  <_  ( H `  y ) )
10146, 100sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( H `  y ) )
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
f `  y )  <_  ( H `  y
) )
10346adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
y  e.  RR )
104 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \  U )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  U ) )
105 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
y
106 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
10789, 106nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x H
108107, 105nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( H `  y
)
109108nfeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( H `  y
)  =  0
110 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
111110eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  x
)  =  0  <->  ( H `  y )  =  0 ) )
112 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( RR  \  U )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  U ) )
11389fvmpt2i 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  ( H `  x )  =  (  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
114 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  x  e.  U  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  0 )
115114fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  e.  U  -> 
(  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
116 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
117 fvi 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
119115, 118syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  e.  U  -> 
(  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )  =  0 )
120113, 119sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  U
)  ->  ( H `  x )  =  0 )
121112, 120sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( RR  \  U )  ->  ( H `  x )  =  0 )
122105, 109, 111, 121vtoclgaf 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \  U )  ->  ( H `  y )  =  0 )
123104, 122sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  U
)  ->  ( H `  y )  =  0 )
124103, 123sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  ( H `  y )  =  0 )
125102, 124breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
f `  y )  <_  0 )
12680, 125syldan 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )  ->  (
f `  y )  <_  0 )
127126anassrs 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  <_  0 )
12860adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 )  =  0 )
129127, 128breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  <_  if (
y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
13071, 129pm2.61dan 808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) )
131 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
132131adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
133132oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
134 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
135 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
13648, 134, 135sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  RR )
137136recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  CC )
138137adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  CC )
139138addid2d 9852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
0  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
140133, 139eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
141130, 140breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) ) )
14267, 141pm2.61dan 808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) ) )
143 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
144 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
145143, 144ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  A , 
( f `  y
) ,  0 ) )
146 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
147146, 144ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
148145, 147oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) ) )
149 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
150 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  e.  _V
151148, 149, 150fvmpt 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y )  =  ( if ( y  e.  A ,  ( f `
 y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
152103, 151syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y )  =  ( if ( y  e.  A , 
( f `  y
) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
153142, 152breqtrrd 4422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( (
x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y ) )
1541, 27, 29, 43, 153itg1lea 22749 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
15541fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
1568, 15itg1add 22738 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
157155, 156eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
158154, 157breqtrd 4420 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) ) ) )
15919adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
16020adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
161 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
162161, 72syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
163162sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
164163adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
165164, 85syldan 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16686a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
167165, 166ifclda 3904 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
168 itg2split.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
169167, 168fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
170169adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
171 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ph
172 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  f  e.  dom  S.1
173 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
f
174 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  oR  <_
175173, 174, 107nfbr 4440 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  f  oR  <_  H
176172, 175nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H )
177171, 176nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )
1785, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A  C_  RR )
179178sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
18030a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  RR  e.  _V )
18132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  e.  _V )
18288adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
18344adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  f : RR --> RR )
184183feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x ) ) )
18589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
186180, 181, 182, 184, 185ofrfval2 6568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  H 
<-> 
A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
187186biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  H  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
188187impr 631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
189188r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
190179, 189syldan 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
191163adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
192191iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C , 
0 )  =  C )
193190, 192breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  <_  C )
194 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  ( f `
 x ) )
195194adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  =  ( f `  x ) )
196 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
197196adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  =  C )
198193, 195, 1973brtr4d 4426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
199 0le0 10721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  0
200199a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
201 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  0 )
202 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
203200, 201, 2023brtr4d 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) )
204203adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
205198, 204pm2.61dan 808 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
206205a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
207177, 206ralrimi 2800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
208168a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
20931, 35, 167, 38, 208ofrfval2 6568 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
210209adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
211207, 210mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)
212 itg2ub 22770 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
213170, 8, 211, 212syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
214 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
215214, 72syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
216215sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
217216adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
218217, 85syldan 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
21986a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
220218, 219ifclda 3904 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
221 itg2split.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
222220, 221fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
223222adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
224 mblss 22563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
22512, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  B  C_  RR )
226225sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  RR )
227226, 189syldan 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
228216adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
229228iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  U ,  C , 
0 )  =  C )
230227, 229breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  <_  C )
231 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  ( f `
 x ) )
232231adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `
 x ) ,  0 )  =  ( f `  x ) )
233 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
234233adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  C , 
0 )  =  C )
235230, 232, 2343brtr4d 4426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
236199a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  -> 
0  <_  0 )
237 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  0 )
238 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
239236, 237, 2383brtr4d 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) )
240239adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  -.  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
241235, 240pm2.61dan 808 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
242241a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
243177, 242ralrimi 2800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
244221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
24531, 37, 220, 39, 244ofrfval2 6568 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
246245adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
247243, 246mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G
)
248 itg2ub 22770 . . . . . . 7  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  G ) )
249223, 15, 247, 248syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  G ) )
25010, 17, 159, 160, 213, 249le2addd 10253 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
2513, 18, 22, 158, 250letrd 9809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
252251expr 626 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
253252ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
25421rexrd 9708 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
255 itg2leub 22771 . . 3  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  H )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
25690, 254, 255syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
257253, 256mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    _I cid 4749   dom cdm 4839    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548    oRcofr 6549   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   [,]cicc 11663   vol*covol 22491   volcvol 22493   S.1citg1 22652   S.2citg2 22653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658
This theorem is referenced by:  itg2split  22786
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