Theorem itg2splitlem 21226

Description: Lemma for itg2split 21227. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2split.a	|- ( ph -> A e. dom vol )
itg2split.b	|- ( ph -> B e. dom vol )
itg2split.i	|- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
itg2split.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
itg2split.c	|- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
itg2split.f	|- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) )
itg2split.g	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. B , C , 0 ) )
itg2split.h	|- H = ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) )
itg2split.sf	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
itg2split.sg	|- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itg2splitlem	|- ( ph -> ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, A   x, B   x, U

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem itg2splitlem

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> f e. dom S.1 )
2		itg1cl 21163	. . . . . 6 |- ( f e. dom S.1 -> ( S.1 ` f ) e. RR )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` f ) e. RR )
4		itg2split.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. dom vol )
5	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A e. dom vol )
6		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) )
7	6	i1fres 21183	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. dom S.1 /\ A e. dom vol ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
8	1, 5, 7	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
9		itg1cl 21163	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
10	8, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
11		itg2split.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. dom vol )
12	11	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> B e. dom vol )
13		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) )
14	13	i1fres 21183	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. dom S.1 /\ B e. dom vol ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
15	1, 12, 14	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
16		itg1cl 21163	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
17	15, 16	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
18	10, 17	readdcld 9413	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) + ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
19		itg2split.sf	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
20		itg2split.sg	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
21	19, 20	readdcld 9413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR )
22	21	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR )
23		inss1 3570	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i B ) C_ A
24		mblss 21014	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
25	4, 24	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ RR )
26	23, 25	syl5ss 3367	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A i^i B ) C_ RR )
27	26	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( A i^i B ) C_ RR )
28		itg2split.i	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
29	28	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
30		reex 9373	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. _V )
32		fvex 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f ` x ) e. _V
33		c0ex 9380	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
34	32, 33	ifex 3858	. . . . . . . . . . 11 |- if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) e. _V
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) e. _V )
36	32, 33	ifex 3858	. . . . . . . . . . 11 |- if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) e. _V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) e. _V )
38		eqidd 2444	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) )
39		eqidd 2444	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) )
40	31, 35, 37, 38, 39	offval2 6336	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) )
41	40	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) )
42	8, 15	i1fadd 21173	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. dom S.1 )
43	41, 42	eqeltrrd 2518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. dom S.1 )
44		i1ff 21154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. dom S.1 -> f : RR --> RR )
45	1, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> f : RR --> RR )
46		eldifi 3478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) -> y e. RR )
47		ffvelrn 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : RR --> RR /\ y e. RR ) -> ( f ` y ) e. RR )
48	45, 46, 47	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) e. RR )
49	48	leidd 9906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) <_ ( f ` y ) )
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) <_ ( f ` y ) )
51		iftrue 3797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) = ( f ` y ) )
52	51	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) = ( f ` y ) )
53		eldifn 3479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) -> -. y e. ( A i^i B ) )
54	53	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> -. y e. ( A i^i B ) )
55		elin 3539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
56	54, 55	sylnib 304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> -. ( y e. A /\ y e. B ) )
57		imnan 422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A -> -. y e. B ) <-> -. ( y e. A /\ y e. B ) )
58	56, 57	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( y e. A -> -. y e. B ) )
59	58	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> -. y e. B )
60		iffalse 3799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. y e. B -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) = 0 )
61	59, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) = 0 )
62	52, 61	oveq12d 6109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) = ( ( f ` y ) + 0 ) )
63	48	recnd 9412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) e. CC )
64	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. CC )
65	64	addid1d 9569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( ( f ` y ) + 0 ) = ( f ` y ) )
66	62, 65	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) = ( f ` y ) )
67	50, 66	breqtrrd 4318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) <_ ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
68	49	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ y e. B ) -> ( f ` y ) <_ ( f ` y ) )
69		iftrue 3797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. B -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) = ( f ` y ) )
70	69	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ y e. B ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) = ( f ` y ) )
71	68, 70	breqtrrd 4318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ y e. B ) -> ( f ` y ) <_ if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
72		itg2split.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
73	72	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> U = ( A u. B ) )
74	73	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( y e. U <-> y e. ( A u. B ) ) )
75		elun 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( A u. B ) <-> ( y e. A \/ y e. B ) )
76	74, 75	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( y e. U <-> ( y e. A \/ y e. B ) ) )
77	76	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( -. y e. U <-> -. ( y e. A \/ y e. B ) ) )
78		ioran 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( y e. A \/ y e. B ) <-> ( -. y e. A /\ -. y e. B ) )
79	77, 78	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( -. y e. U <-> ( -. y e. A /\ -. y e. B ) ) )
80	79	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ ( -. y e. A /\ -. y e. B ) ) -> -. y e. U )
81		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> f oR <_ H )
82		ffn 5559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : RR --> RR -> f Fn RR )
83	45, 82	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> f Fn RR )
84		itg2split.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
85	84	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. U ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
86		0e0iccpnf 11396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. U ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
88	85, 87	ifclda 3821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. U , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
89		itg2split.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- H = ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) )
90	88, 89	fmptd 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
91		ffn 5559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( H : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> H Fn RR )
92	90, 91	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> H Fn RR )
93	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> H Fn RR )
94	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> RR e. _V )
95		inidm 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( RR i^i RR ) = RR
96		eqidd 2444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. RR ) -> ( f ` y ) = ( f ` y ) )
97		eqidd 2444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. RR ) -> ( H ` y ) = ( H ` y ) )
98	83, 93, 94, 94, 95, 96, 97	ofrfval 6328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( f oR <_ H <-> A. y e. RR ( f ` y ) <_ ( H ` y ) ) )
99	81, 98	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A. y e. RR ( f ` y ) <_ ( H ` y ) )
100	99	r19.21bi 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. RR ) -> ( f ` y ) <_ ( H ` y ) )
101	46, 100	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) <_ ( H ` y ) )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. U ) -> ( f ` y ) <_ ( H ` y ) )
103	46	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> y e. RR )
104		eldif 3338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( RR \ U ) <-> ( y e. RR /\ -. y e. U ) )
105		nfcv 2579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x y
106		nfmpt1 4381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) )
107	89, 106	nfcxfr 2576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x H
108	107, 105	nffv 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( H ` y )
109	108	nfeq1 2588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( H ` y ) = 0
110		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( H ` x ) = ( H ` y ) )
111	110	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( H ` x ) = 0 <-> ( H ` y ) = 0 ) )
112		eldif 3338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( RR \ U ) <-> ( x e. RR /\ -. x e. U ) )
113	89	fvmpt2i 5780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> ( H ` x ) = ( _I ` if ( x e. U , C , 0 ) ) )
114		iffalse 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. x e. U -> if ( x e. U , C , 0 ) = 0 )
115	114	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. x e. U -> ( _I ` if ( x e. U , C , 0 ) ) = ( _I ` 0 ) )
116		0cn 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. CC
117		fvi 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 e. CC -> ( _I ` 0 ) = 0 )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( _I ` 0 ) = 0
119	115, 118	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. x e. U -> ( _I ` if ( x e. U , C , 0 ) ) = 0 )
120	113, 119	sylan9eq 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. RR /\ -. x e. U ) -> ( H ` x ) = 0 )
121	112, 120	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( RR \ U ) -> ( H ` x ) = 0 )
122	105, 109, 111, 121	vtoclgaf 3035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( RR \ U ) -> ( H ` y ) = 0 )
123	104, 122	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ -. y e. U ) -> ( H ` y ) = 0 )
124	103, 123	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. U ) -> ( H ` y ) = 0 )
125	102, 124	breqtrd 4316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. U ) -> ( f ` y ) <_ 0 )
126	80, 125	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ ( -. y e. A /\ -. y e. B ) ) -> ( f ` y ) <_ 0 )
127	126	anassrs 648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ -. y e. B ) -> ( f ` y ) <_ 0 )
128	60	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ -. y e. B ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) = 0 )
129	127, 128	breqtrrd 4318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ -. y e. B ) -> ( f ` y ) <_ if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
130	71, 129	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> ( f ` y ) <_ if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
131		iffalse 3799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. y e. A -> if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) = 0 )
132	131	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) = 0 )
133	132	oveq1d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) = ( 0 + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
134		0re 9386	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
135		ifcl 3831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) e. RR )
136	48, 134, 135	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) e. RR )
137	136	recnd 9412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) e. CC )
138	137	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) e. CC )
139	138	addid2d 9570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> ( 0 + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) = if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
140	133, 139	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) = if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
141	130, 140	breqtrrd 4318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> ( f ` y ) <_ ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
142	67, 141	pm2.61dan 789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) <_ ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
143		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
144		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( f ` x ) = ( f ` y ) )
145	143, 144	ifbieq1d 3812	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) = if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) )
146		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
147	146, 144	ifbieq1d 3812	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) = if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
148	145, 147	oveq12d 6109	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
149		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) )
150		ovex 6116	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) e. _V
151	148, 149, 150	fvmpt 5774	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ` y ) = ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
152	103, 151	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ` y ) = ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
153	142, 152	breqtrrd 4318	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) <_ ( ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ` y ) )
154	1, 27, 29, 43, 153	itg1lea 21190	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ ( S.1 ` ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) )
155	41	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) )
156	8, 15	itg1add 21179	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) + ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) )
157	155, 156	eqtr3d 2477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) + ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) )
158	154, 157	breqtrd 4316	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) + ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) )
159	19	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.2 ` F ) e. RR )
160	20	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.2 ` G ) e. RR )
161		ssun1 3519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A C_ ( A u. B )
162	161, 72	syl5sseqr 3405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ U )
163	162	sselda 3356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. U )
164	163	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. A ) -> x e. U )
165	164, 85	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
166	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
167	165, 166	ifclda 3821	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
168		itg2split.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) )
169	167, 168	fmptd 5867	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
170	169	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
171		nfv 1673	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ph
172		nfv 1673	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x f e. dom S.1
173		nfcv 2579	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x f
174		nfcv 2579	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x oR <_
175	173, 174, 107	nfbr 4336	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x f oR <_ H
176	172, 175	nfan 1861	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H )
177	171, 176	nfan 1861	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) )
178	5, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A C_ RR )
179	178	sselda 3356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
180	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> RR e. _V )
181	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) e. _V )
182	88	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. U , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
183	44	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> f : RR --> RR )
184	183	feqmptd 5744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> f = ( x e. RR |-> ( f ` x ) ) )
185	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> H = ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) ) )
186	180, 181, 182, 184, 185	ofrfval2 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ H <-> A. x e. RR ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) ) )
187	186	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ H -> A. x e. RR ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) ) )
188	187	impr 619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A. x e. RR ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) )
189	188	r19.21bi 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) )
190	179, 189	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) )
191	163	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> x e. U )
192		iftrue 3797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. U -> if ( x e. U , C , 0 ) = C )
193	191, 192	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. U , C , 0 ) = C )
194	190, 193	breqtrd 4316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) <_ C )
195		iftrue 3797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) = ( f ` x ) )
196	195	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) = ( f ` x ) )
197		iftrue 3797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = C )
198	197	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , C , 0 ) = C )
199	194, 196, 198	3brtr4d 4322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
200		0le0 10411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 0
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
202		iffalse 3799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) = 0 )
203		iffalse 3799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = 0 )
204	201, 202, 203	3brtr4d 4322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
205	204	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ -. x e. A ) -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
206	199, 205	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
207	206	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) ) )
208	177, 207	ralrimi 2797	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A. x e. RR if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
209	168	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) )
210	31, 35, 167, 38, 209	ofrfval2 6337	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ F <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) ) )
211	210	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ F <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) ) )
212	208, 211	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ F )
213		itg2ub 21211	. . . . . . 7 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ F ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` F ) )
214	170, 8, 212, 213	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` F ) )
215		ssun2 3520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B C_ ( A u. B )
216	215, 72	syl5sseqr 3405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ U )
217	216	sselda 3356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. U )
218	217	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. B ) -> x e. U )
219	218, 85	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
220	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. B ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
221	219, 220	ifclda 3821	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. B , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
222		itg2split.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. B , C , 0 ) )
223	221, 222	fmptd 5867	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
224	223	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
225		mblss 21014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. dom vol -> B C_ RR )
226	12, 225	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> B C_ RR )
227	226	sselda 3356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> x e. RR )
228	227, 189	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) )
229	217	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> x e. U )
230	229, 192	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> if ( x e. U , C , 0 ) = C )
231	228, 230	breqtrd 4316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> ( f ` x ) <_ C )
232		iftrue 3797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. B -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) = ( f ` x ) )
233	232	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) = ( f ` x ) )
234		iftrue 3797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. B -> if ( x e. B , C , 0 ) = C )
235	234	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> if ( x e. B , C , 0 ) = C )
236	231, 233, 235	3brtr4d 4322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
237	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. B -> 0 <_ 0 )
238		iffalse 3799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. B -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) = 0 )
239		iffalse 3799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. B -> if ( x e. B , C , 0 ) = 0 )
240	237, 238, 239	3brtr4d 4322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. B -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
241	240	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ -. x e. B ) -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
242	236, 241	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
243	242	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) ) )
244	177, 243	ralrimi 2797	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A. x e. RR if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
245	222	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( x e. RR |-> if ( x e. B , C , 0 ) ) )
246	31, 37, 221, 39, 245	ofrfval2 6337	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ G <-> A. x e. RR if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) ) )
247	246	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ G <-> A. x e. RR if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) ) )
248	244, 247	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ G )
249		itg2ub 21211	. . . . . . 7 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ G ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
250	224, 15, 248, 249	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
251	10, 17, 159, 160, 214, 250	le2addd 9957	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) + ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
252	3, 18, 22, 158, 251	letrd 9528	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
253	252	expr 615	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ H -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) )
254	253	ralrimiva 2799	. 2 |- ( ph -> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ H -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) )
255	21	rexrd 9433	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR* )
256		itg2leub 21212	. . 3 |- ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR* ) -> ( ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ H -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) ) )
257	90, 255, 256	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ H -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) ) )
258	254, 257	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   u. cun 3326   i^i cin 3327   C_ wss 3328   ifcif 3791   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   _I cid 4631   dom cdm 4840   Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   oFcof 6318   oRcofr 6319   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   + caddc 9285   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417   <_ cle 9419   [,]cicc 11303   vol*covol 20946   volcvol 20947   S.1citg1 21095   S.2citg2 21096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099  df-itg1 21100  df-itg2 21101

This theorem is referenced by:  itg2split  21227