MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2splitlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itg2splitlem 22699
Description: Lemma for itg2split 22700. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2split.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
itg2split.i  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
itg2split.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
itg2split.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
itg2split.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
itg2split.g  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
itg2split.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
itg2split.sf  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2split.sg  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, U
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)    H( x)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 763 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
2 itg1cl 22636 . . . . . 6  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
4 itg2split.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
54adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A  e.  dom  vol )
6 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) )
76i1fres 22656 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
81, 5, 7syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
9 itg1cl 22636 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11 itg2split.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
1211adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  B  e.  dom  vol )
13 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )
1413i1fres 22656 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
151, 12, 14syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
16 itg1cl 22636 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1715, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1810, 17readdcld 9667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
19 itg2split.sf . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
20 itg2split.sg . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
2119, 20readdcld 9667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
2221adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR )
23 inss1 3651 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
24 mblss 22478 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
254, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2623, 25syl5ss 3442 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  RR )
2726adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  RR )
28 itg2split.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
2928adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
30 reex 9627 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
32 fvex 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
33 c0ex 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
3432, 33ifex 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V )
3632, 33ifex 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V )
38 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
39 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
4031, 35, 37, 38, 39offval2 6545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )
4140adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) ) )
428, 15i1fadd 22646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  dom  S.1 )
4341, 42eqeltrrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  dom  S.1 )
44 i1ff 22627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f : RR
--> RR )
46 eldifi 3554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  y  e.  RR )
47 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  e.  RR )
4845, 46, 47syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  e.  RR )
4948leidd 10177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( f `  y ) )
5049adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( f `  y
) )
51 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
5251adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
53 eldifn 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  -.  y  e.  ( A  i^i  B ) )
5453adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  -.  y  e.  ( A  i^i  B ) )
55 elin 3616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
5654, 55sylnib 306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  -.  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )
57 imnan 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  B
)  <->  -.  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
5856, 57sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  y  e.  B
) )
5958imp 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  -.  y  e.  B )
60 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  B  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
6252, 61oveq12d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( ( f `  y )  +  0 ) )
6348recnd 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  e.  CC )
6463adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  CC )
6564addid1d 9830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
( f `  y
)  +  0 )  =  ( f `  y ) )
6662, 65eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( f `
 y ) )
6750, 66breqtrrd 4428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) ) )
6849ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
f `  y )  <_  ( f `  y
) )
69 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
7069adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
7168, 70breqtrrd 4428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
f `  y )  <_  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) )
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7372ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7473eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  U  <->  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
75 elun 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
7674, 75syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  U  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B )
) )
7776notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( -.  y  e.  U  <->  -.  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) ) )
78 ioran 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  <->  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )
7977, 78syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( -.  y  e.  U  <->  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) ) )
8079biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )  ->  -.  y  e.  U )
81 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f  oR  <_  H )
82 ffn 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
8345, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f  Fn  RR )
84 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8584adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
86 0e0iccpnf 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  U )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8885, 87ifclda 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
89 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
9088, 89fmptd 6044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
91 ffn 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  H  Fn  RR )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  H  Fn  RR )
9392adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  H  Fn  RR )
9430a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  RR  e.  _V )
95 inidm 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
96 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  =  ( f `
 y ) )
97 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( H `  y
)  =  ( H `
 y ) )
9883, 93, 94, 94, 95, 96, 97ofrfval 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( f  oR  <_  H  <->  A. y  e.  RR  ( f `  y )  <_  ( H `  y )
) )
9981, 98mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. y  e.  RR  ( f `  y )  <_  ( H `  y )
)
10099r19.21bi 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  <_  ( H `  y ) )
10146, 100sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( H `  y ) )
102101adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
f `  y )  <_  ( H `  y
) )
10346adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
y  e.  RR )
104 eldif 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \  U )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  U ) )
105 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
y
106 nfmpt1 4491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
10789, 106nfcxfr 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x H
108107, 105nffv 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( H `  y
)
109108nfeq1 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( H `  y
)  =  0
110 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
111110eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  x
)  =  0  <->  ( H `  y )  =  0 ) )
112 eldif 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( RR  \  U )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  U ) )
11389fvmpt2i 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  ( H `  x )  =  (  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
114 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  x  e.  U  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  0 )
115114fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  e.  U  -> 
(  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
116 0cn 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
117 fvi 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
119115, 118syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  e.  U  -> 
(  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )  =  0 )
120113, 119sylan9eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  U
)  ->  ( H `  x )  =  0 )
121112, 120sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( RR  \  U )  ->  ( H `  x )  =  0 )
122105, 109, 111, 121vtoclgaf 3111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \  U )  ->  ( H `  y )  =  0 )
123104, 122sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  U
)  ->  ( H `  y )  =  0 )
124103, 123sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  ( H `  y )  =  0 )
125102, 124breqtrd 4426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
f `  y )  <_  0 )
12680, 125syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )  ->  (
f `  y )  <_  0 )
127126anassrs 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  <_  0 )
12860adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 )  =  0 )
129127, 128breqtrrd 4428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  <_  if (
y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
13071, 129pm2.61dan 799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) )
131 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
132131adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
133132oveq1d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
134 0re 9640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
135 ifcl 3922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
13648, 134, 135sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  RR )
137136recnd 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  CC )
138137adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  CC )
139138addid2d 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
0  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
140133, 139eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
141130, 140breqtrrd 4428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) ) )
14267, 141pm2.61dan 799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) ) )
143 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
144 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
145143, 144ifbieq1d 3903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  A , 
( f `  y
) ,  0 ) )
146 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
147146, 144ifbieq1d 3903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
148145, 147oveq12d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) ) )
149 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
150 ovex 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  e.  _V
151148, 149, 150fvmpt 5946 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y )  =  ( if ( y  e.  A ,  ( f `
 y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
152103, 151syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y )  =  ( if ( y  e.  A , 
( f `  y
) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
153142, 152breqtrrd 4428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( (
x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y ) )
1541, 27, 29, 43, 153itg1lea 22663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
15541fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
1568, 15itg1add 22652 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
157155, 156eqtr3d 2486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
158154, 157breqtrd 4426 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) ) ) )
15919adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
16020adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
161 ssun1 3596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
162161, 72syl5sseqr 3480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
163162sselda 3431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
164163adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
165164, 85syldan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16686a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
167165, 166ifclda 3912 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
168 itg2split.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
169167, 168fmptd 6044 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
170169adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
171 nfv 1760 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ph
172 nfv 1760 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  f  e.  dom  S.1
173 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
f
174 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  oR  <_
175173, 174, 107nfbr 4446 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  f  oR  <_  H
176172, 175nfan 2010 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H )
177171, 176nfan 2010 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )
1785, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A  C_  RR )
179178sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
18030a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  RR  e.  _V )
18132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  e.  _V )
18288adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
18344adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  f : RR --> RR )
184183feqmptd 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x ) ) )
18589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
186180, 181, 182, 184, 185ofrfval2 6546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  H 
<-> 
A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
187186biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  H  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
188187impr 624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
189188r19.21bi 2756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
190179, 189syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
191163adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
192191iftrued 3888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C , 
0 )  =  C )
193190, 192breqtrd 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  <_  C )
194 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  ( f `
 x ) )
195194adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  =  ( f `  x ) )
196 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
197196adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  =  C )
198193, 195, 1973brtr4d 4432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
199 0le0 10696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  0
200199a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
201 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  0 )
202 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
203200, 201, 2023brtr4d 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) )
204203adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
205198, 204pm2.61dan 799 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
206205a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
207177, 206ralrimi 2787 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
208168a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
20931, 35, 167, 38, 208ofrfval2 6546 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
210209adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
211207, 210mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)
212 itg2ub 22684 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
213170, 8, 211, 212syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
214 ssun2 3597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
215214, 72syl5sseqr 3480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
216215sselda 3431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
217216adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
218217, 85syldan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
21986a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
220218, 219ifclda 3912 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
221 itg2split.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
222220, 221fmptd 6044 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
223222adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
224 mblss 22478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
22512, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  B  C_  RR )
226225sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  RR )
227226, 189syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
228216adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
229228iftrued 3888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  U ,  C , 
0 )  =  C )
230227, 229breqtrd 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  <_  C )
231 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  ( f `
 x ) )
232231adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `
 x ) ,  0 )  =  ( f `  x ) )
233 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
234233adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  C , 
0 )  =  C )
235230, 232, 2343brtr4d 4432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
236199a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  -> 
0  <_  0 )
237 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  0 )
238 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
239236, 237, 2383brtr4d 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) )
240239adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  -.  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
241235, 240pm2.61dan 799 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
242241a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
243177, 242ralrimi 2787 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
244221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
24531, 37, 220, 39, 244ofrfval2 6546 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
246245adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
247243, 246mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G
)
248 itg2ub 22684 . . . . . . 7  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  G ) )
249223, 15, 247, 248syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  G ) )
25010, 17, 159, 160, 213, 249le2addd 10229 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
2513, 18, 22, 158, 250letrd 9789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
252251expr 619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
253252ralrimiva 2801 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
25421rexrd 9687 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
255 itg2leub 22685 . . 3  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  H )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
25690, 254, 255syl2anc 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
257253, 256mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   ifcif 3880   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460    _I cid 4743   dom cdm 4833    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    oFcof 6526    oRcofr 6527   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536    + caddc 9539   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671    <_ cle 9673   [,]cicc 11635   vol*covol 22406   volcvol 22408   S.1citg1 22566   S.2citg2 22567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572
This theorem is referenced by:  itg2split  22700
  Copyright terms: Public domain W3C validator