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Theorem itg2splitlem 21918
 Description: Lemma for itg2split 21919. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a
itg2split.b
itg2split.i
itg2split.u
itg2split.c
itg2split.f
itg2split.g
itg2split.h
itg2split.sf
itg2split.sg
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . . . . . 6
2 itg1cl 21855 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
4 itg2split.a . . . . . . . . 9
54adantr 465 . . . . . . . 8
6 eqid 2467 . . . . . . . . 9
76i1fres 21875 . . . . . . . 8
81, 5, 7syl2anc 661 . . . . . . 7
9 itg1cl 21855 . . . . . . 7
108, 9syl 16 . . . . . 6
11 itg2split.b . . . . . . . . 9
1211adantr 465 . . . . . . . 8
13 eqid 2467 . . . . . . . . 9
1413i1fres 21875 . . . . . . . 8
151, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . 7
16 itg1cl 21855 . . . . . . 7
1715, 16syl 16 . . . . . 6
1810, 17readdcld 9623 . . . . 5
19 itg2split.sf . . . . . . 7
20 itg2split.sg . . . . . . 7
2119, 20readdcld 9623 . . . . . 6
2221adantr 465 . . . . 5
23 inss1 3718 . . . . . . . . 9
24 mblss 21705 . . . . . . . . . 10
254, 24syl 16 . . . . . . . . 9
2623, 25syl5ss 3515 . . . . . . . 8
2726adantr 465 . . . . . . 7
28 itg2split.i . . . . . . . 8
2928adantr 465 . . . . . . 7
30 reex 9583 . . . . . . . . . . 11
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10
32 fvex 5876 . . . . . . . . . . . 12
33 c0ex 9590 . . . . . . . . . . . 12
3432, 33ifex 4008 . . . . . . . . . . 11
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10
3632, 33ifex 4008 . . . . . . . . . . 11
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10
38 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10
39 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10
4031, 35, 37, 38, 39offval2 6540 . . . . . . . . 9
4140adantr 465 . . . . . . . 8
428, 15i1fadd 21865 . . . . . . . 8
4341, 42eqeltrrd 2556 . . . . . . 7
44 i1ff 21846 . . . . . . . . . . . . . 14
451, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
46 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . 13
47 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . 13
4845, 46, 47syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
4948leidd 10119 . . . . . . . . . . 11
5049adantr 465 . . . . . . . . . 10
51 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . 13
5251adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
53 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . 15
5856, 57sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
5958imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
60 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . 13
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6252, 61oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11
6348recnd 9622 . . . . . . . . . . . . 13
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
6564addid1d 9779 . . . . . . . . . . 11
6662, 65eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10
6750, 66breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9
6849ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
69 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . 13
7069adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
7168, 70breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . 11
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7473eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75 elun 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7674, 75syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7977, 78syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . 14
81 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
82 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8345, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8584adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
86 0e0iccpnf 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8885, 87ifclda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
89 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9088, 89fmptd 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
91 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9430a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
95 inidm 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
97 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9883, 93, 94, 94, 95, 96, 97ofrfval 6532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9981, 98mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10099r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10146, 100sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
10346adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10789, 106nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108107, 105nffv 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109108nfeq1 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111110eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11389fvmpt2i 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
115114fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
116 0cn 9588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
117 fvi 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119115, 118syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120113, 119sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121112, 120sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122105, 109, 111, 121vtoclgaf 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123104, 122sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124103, 123sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
125102, 124breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . 14
12680, 125syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13
127126anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12
12860adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
129127, 128breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . 11
13071, 129pm2.61dan 789 . . . . . . . . . 10
131 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . 13
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
133132oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11
134 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15
135 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15
13648, 134, 135sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
137136recnd 9622 . . . . . . . . . . . . 13
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
139138addid2d 9780 . . . . . . . . . . 11
140133, 139eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10
141130, 140breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9
14267, 141pm2.61dan 789 . . . . . . . 8
143 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12
144 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12
145143, 144ifbieq1d 3962 . . . . . . . . . . 11
146 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12
147146, 144ifbieq1d 3962 . . . . . . . . . . 11
148145, 147oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10
149 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
150 ovex 6309 . . . . . . . . . 10
151148, 149, 150fvmpt 5950 . . . . . . . . 9
152103, 151syl 16 . . . . . . . 8
153142, 152breqtrrd 4473 . . . . . . 7
1541, 27, 29, 43, 153itg1lea 21882 . . . . . 6
15541fveq2d 5870 . . . . . . 7
1568, 15itg1add 21871 . . . . . . 7
157155, 156eqtr3d 2510 . . . . . 6
158154, 157breqtrd 4471 . . . . 5
15919adantr 465 . . . . . 6
16020adantr 465 . . . . . 6
161 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . 14
162161, 72syl5sseqr 3553 . . . . . . . . . . . . 13
163162sselda 3504 . . . . . . . . . . . 12
164163adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
165164, 85syldan 470 . . . . . . . . . 10
16686a1i 11 . . . . . . . . . 10
167165, 166ifclda 3971 . . . . . . . . 9
168 itg2split.f . . . . . . . . 9
169167, 168fmptd 6045 . . . . . . . 8
170169adantr 465 . . . . . . 7
171 nfv 1683 . . . . . . . . . 10
172 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11
173 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12
174 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12
175173, 174, 107nfbr 4491 . . . . . . . . . . 11
176172, 175nfan 1875 . . . . . . . . . 10
177171, 176nfan 1875 . . . . . . . . 9
1785, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
179178sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . 14
18030a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18288adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18344adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
184183feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
186180, 181, 182, 184, 185ofrfval2 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
187186biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16
188187impr 619 . . . . . . . . . . . . . . 15
189188r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . 14
190179, 189syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13
191163adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
192 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . 14
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
194190, 193breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . 12
195 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . 13
196195adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
197 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . 13
198197adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
199194, 196, 1983brtr4d 4477 . . . . . . . . . . 11
200 0le0 10625 . . . . . . . . . . . . . 14
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
202 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . 13
203 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . 13
204201, 202, 2033brtr4d 4477 . . . . . . . . . . . 12
205204adantl 466 . . . . . . . . . . 11
206199, 205pm2.61dan 789 . . . . . . . . . 10
207206a1d 25 . . . . . . . . 9
208177, 207ralrimi 2864 . . . . . . . 8
209168a1i 11 . . . . . . . . . 10
21031, 35, 167, 38, 209ofrfval2 6541 . . . . . . . . 9
211210adantr 465 . . . . . . . 8
212208, 211mpbird 232 . . . . . . 7
213 itg2ub 21903 . . . . . . 7
214170, 8, 212, 213syl3anc 1228 . . . . . 6
215 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . . 14
216215, 72syl5sseqr 3553 . . . . . . . . . . . . 13
217216sselda 3504 . . . . . . . . . . . 12
218217adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
219218, 85syldan 470 . . . . . . . . . 10
22086a1i 11 . . . . . . . . . 10
221219, 220ifclda 3971 . . . . . . . . 9
222 itg2split.g . . . . . . . . 9
223221, 222fmptd 6045 . . . . . . . 8
224223adantr 465 . . . . . . 7
225 mblss 21705 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22612, 225syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
227226sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . 14
228227, 189syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13
229217adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
230229, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
231228, 230breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . 12
232 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . 13
233232adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
234 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . 13
235234adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
236231, 233, 2353brtr4d 4477 . . . . . . . . . . 11
237200a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
238 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . 13
239 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . 13
240237, 238, 2393brtr4d 4477 . . . . . . . . . . . 12
241240adantl 466 . . . . . . . . . . 11
242236, 241pm2.61dan 789 . . . . . . . . . 10
243242a1d 25 . . . . . . . . 9
244177, 243ralrimi 2864 . . . . . . . 8
245222a1i 11 . . . . . . . . . 10
24631, 37, 221, 39, 245ofrfval2 6541 . . . . . . . . 9
247246adantr 465 . . . . . . . 8
248244, 247mpbird 232 . . . . . . 7
249 itg2ub 21903 . . . . . . 7
250224, 15, 248, 249syl3anc 1228 . . . . . 6
25110, 17, 159, 160, 214, 250le2addd 10170 . . . . 5
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 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  cvv 3113   cdif 3473   cun 3474   cin 3475   wss 3476  cif 3939   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cid 4790   cdm 4999   wfn 5583  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cof 6522   cofr 6523  cc 9490  cr 9491  cc0 9492   caddc 9495   cpnf 9625  cxr 9627   cle 9629  cicc 11532  covol 21637  cvol 21638  citg1 21787  citg2 21788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cmp 19681  df-ovol 21639  df-vol 21640  df-mbf 21791  df-itg1 21792  df-itg2 21793 This theorem is referenced by:  itg2split  21919
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