Theorem itg2splitlem 22699

Description: Lemma for itg2split 22700. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2split.a	|- ( ph -> A e. dom vol )
itg2split.b	|- ( ph -> B e. dom vol )
itg2split.i	|- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
itg2split.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
itg2split.c	|- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
itg2split.f	|- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) )
itg2split.g	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. B , C , 0 ) )
itg2split.h	|- H = ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) )
itg2split.sf	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
itg2split.sg	|- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itg2splitlem	|- ( ph -> ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, A   x, B   x, U

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem itg2splitlem

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 763	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> f e. dom S.1 )
2		itg1cl 22636	. . . . . 6 |- ( f e. dom S.1 -> ( S.1 ` f ) e. RR )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` f ) e. RR )
4		itg2split.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. dom vol )
5	4	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A e. dom vol )
6		eqid 2450	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) )
7	6	i1fres 22656	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. dom S.1 /\ A e. dom vol ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
8	1, 5, 7	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
9		itg1cl 22636	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
11		itg2split.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. dom vol )
12	11	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> B e. dom vol )
13		eqid 2450	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) )
14	13	i1fres 22656	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. dom S.1 /\ B e. dom vol ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
15	1, 12, 14	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
16		itg1cl 22636	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
18	10, 17	readdcld 9667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) + ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
19		itg2split.sf	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
20		itg2split.sg	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
21	19, 20	readdcld 9667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR )
22	21	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR )
23		inss1 3651	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i B ) C_ A
24		mblss 22478	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
25	4, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ RR )
26	23, 25	syl5ss 3442	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A i^i B ) C_ RR )
27	26	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( A i^i B ) C_ RR )
28		itg2split.i	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
29	28	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
30		reex 9627	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. _V )
32		fvex 5873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f ` x ) e. _V
33		c0ex 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
34	32, 33	ifex 3948	. . . . . . . . . . 11 |- if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) e. _V
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) e. _V )
36	32, 33	ifex 3948	. . . . . . . . . . 11 |- if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) e. _V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) e. _V )
38		eqidd 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) )
39		eqidd 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) )
40	31, 35, 37, 38, 39	offval2 6545	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) )
41	40	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) )
42	8, 15	i1fadd 22646	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. dom S.1 )
43	41, 42	eqeltrrd 2529	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) e. dom S.1 )
44		i1ff 22627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. dom S.1 -> f : RR --> RR )
45	1, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> f : RR --> RR )
46		eldifi 3554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) -> y e. RR )
47		ffvelrn 6018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : RR --> RR /\ y e. RR ) -> ( f ` y ) e. RR )
48	45, 46, 47	syl2an 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) e. RR )
49	48	leidd 10177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) <_ ( f ` y ) )
50	49	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) <_ ( f ` y ) )
51		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) = ( f ` y ) )
52	51	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) = ( f ` y ) )
53		eldifn 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) -> -. y e. ( A i^i B ) )
54	53	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> -. y e. ( A i^i B ) )
55		elin 3616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
56	54, 55	sylnib 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> -. ( y e. A /\ y e. B ) )
57		imnan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A -> -. y e. B ) <-> -. ( y e. A /\ y e. B ) )
58	56, 57	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( y e. A -> -. y e. B ) )
59	58	imp 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> -. y e. B )
60		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. y e. B -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) = 0 )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) = 0 )
62	52, 61	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) = ( ( f ` y ) + 0 ) )
63	48	recnd 9666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) e. CC )
64	63	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. CC )
65	64	addid1d 9830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( ( f ` y ) + 0 ) = ( f ` y ) )
66	62, 65	eqtrd 2484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) = ( f ` y ) )
67	50, 66	breqtrrd 4428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) <_ ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
68	49	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ y e. B ) -> ( f ` y ) <_ ( f ` y ) )
69		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. B -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) = ( f ` y ) )
70	69	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ y e. B ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) = ( f ` y ) )
71	68, 70	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ y e. B ) -> ( f ` y ) <_ if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
72		itg2split.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
73	72	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> U = ( A u. B ) )
74	73	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( y e. U <-> y e. ( A u. B ) ) )
75		elun 3573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( A u. B ) <-> ( y e. A \/ y e. B ) )
76	74, 75	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( y e. U <-> ( y e. A \/ y e. B ) ) )
77	76	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( -. y e. U <-> -. ( y e. A \/ y e. B ) ) )
78		ioran 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( y e. A \/ y e. B ) <-> ( -. y e. A /\ -. y e. B ) )
79	77, 78	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( -. y e. U <-> ( -. y e. A /\ -. y e. B ) ) )
80	79	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ ( -. y e. A /\ -. y e. B ) ) -> -. y e. U )
81		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> f oR <_ H )
82		ffn 5726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : RR --> RR -> f Fn RR )
83	45, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> f Fn RR )
84		itg2split.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
85	84	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. U ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
86		0e0iccpnf 11740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. U ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
88	85, 87	ifclda 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. U , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
89		itg2split.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- H = ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) )
90	88, 89	fmptd 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
91		ffn 5726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( H : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> H Fn RR )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> H Fn RR )
93	92	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> H Fn RR )
94	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> RR e. _V )
95		inidm 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( RR i^i RR ) = RR
96		eqidd 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. RR ) -> ( f ` y ) = ( f ` y ) )
97		eqidd 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. RR ) -> ( H ` y ) = ( H ` y ) )
98	83, 93, 94, 94, 95, 96, 97	ofrfval 6536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( f oR <_ H <-> A. y e. RR ( f ` y ) <_ ( H ` y ) ) )
99	81, 98	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A. y e. RR ( f ` y ) <_ ( H ` y ) )
100	99	r19.21bi 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. RR ) -> ( f ` y ) <_ ( H ` y ) )
101	46, 100	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) <_ ( H ` y ) )
102	101	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. U ) -> ( f ` y ) <_ ( H ` y ) )
103	46	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> y e. RR )
104		eldif 3413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( RR \ U ) <-> ( y e. RR /\ -. y e. U ) )
105		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x y
106		nfmpt1 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) )
107	89, 106	nfcxfr 2589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x H
108	107, 105	nffv 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( H ` y )
109	108	nfeq1 2604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( H ` y ) = 0
110		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( H ` x ) = ( H ` y ) )
111	110	eqeq1d 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( H ` x ) = 0 <-> ( H ` y ) = 0 ) )
112		eldif 3413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( RR \ U ) <-> ( x e. RR /\ -. x e. U ) )
113	89	fvmpt2i 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> ( H ` x ) = ( _I ` if ( x e. U , C , 0 ) ) )
114		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. x e. U -> if ( x e. U , C , 0 ) = 0 )
115	114	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. x e. U -> ( _I ` if ( x e. U , C , 0 ) ) = ( _I ` 0 ) )
116		0cn 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. CC
117		fvi 5920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 e. CC -> ( _I ` 0 ) = 0 )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( _I ` 0 ) = 0
119	115, 118	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. x e. U -> ( _I ` if ( x e. U , C , 0 ) ) = 0 )
120	113, 119	sylan9eq 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. RR /\ -. x e. U ) -> ( H ` x ) = 0 )
121	112, 120	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( RR \ U ) -> ( H ` x ) = 0 )
122	105, 109, 111, 121	vtoclgaf 3111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( RR \ U ) -> ( H ` y ) = 0 )
123	104, 122	sylbir 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ -. y e. U ) -> ( H ` y ) = 0 )
124	103, 123	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. U ) -> ( H ` y ) = 0 )
125	102, 124	breqtrd 4426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. U ) -> ( f ` y ) <_ 0 )
126	80, 125	syldan 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ ( -. y e. A /\ -. y e. B ) ) -> ( f ` y ) <_ 0 )
127	126	anassrs 653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ -. y e. B ) -> ( f ` y ) <_ 0 )
128	60	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ -. y e. B ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) = 0 )
129	127, 128	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) /\ -. y e. B ) -> ( f ` y ) <_ if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
130	71, 129	pm2.61dan 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> ( f ` y ) <_ if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
131		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. y e. A -> if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) = 0 )
132	131	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) = 0 )
133	132	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) = ( 0 + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
134		0re 9640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
135		ifcl 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) e. RR )
136	48, 134, 135	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) e. RR )
137	136	recnd 9666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) e. CC )
138	137	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) e. CC )
139	138	addid2d 9831	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> ( 0 + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) = if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
140	133, 139	eqtrd 2484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) = if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
141	130, 140	breqtrrd 4428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. y e. A ) -> ( f ` y ) <_ ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
142	67, 141	pm2.61dan 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) <_ ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
143		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
144		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( f ` x ) = ( f ` y ) )
145	143, 144	ifbieq1d 3903	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) = if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) )
146		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
147	146, 144	ifbieq1d 3903	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) = if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) )
148	145, 147	oveq12d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
149		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) )
150		ovex 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) e. _V
151	148, 149, 150	fvmpt 5946	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ` y ) = ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
152	103, 151	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ` y ) = ( if ( y e. A , ( f ` y ) , 0 ) + if ( y e. B , ( f ` y ) , 0 ) ) )
153	142, 152	breqtrrd 4428	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` y ) <_ ( ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ` y ) )
154	1, 27, 29, 43, 153	itg1lea 22663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ ( S.1 ` ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) )
155	41	fveq2d 5867	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) )
156	8, 15	itg1add 22652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) + ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) )
157	155, 156	eqtr3d 2486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) + if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) + ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) )
158	154, 157	breqtrd 4426	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) + ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) )
159	19	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.2 ` F ) e. RR )
160	20	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.2 ` G ) e. RR )
161		ssun1 3596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A C_ ( A u. B )
162	161, 72	syl5sseqr 3480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ U )
163	162	sselda 3431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. U )
164	163	adantlr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. A ) -> x e. U )
165	164, 85	syldan 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
166	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
167	165, 166	ifclda 3912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
168		itg2split.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) )
169	167, 168	fmptd 6044	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
170	169	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
171		nfv 1760	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ph
172		nfv 1760	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x f e. dom S.1
173		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x f
174		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x oR <_
175	173, 174, 107	nfbr 4446	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x f oR <_ H
176	172, 175	nfan 2010	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H )
177	171, 176	nfan 2010	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) )
178	5, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A C_ RR )
179	178	sselda 3431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
180	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> RR e. _V )
181	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) e. _V )
182	88	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. U , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
183	44	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> f : RR --> RR )
184	183	feqmptd 5916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> f = ( x e. RR |-> ( f ` x ) ) )
185	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> H = ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) ) )
186	180, 181, 182, 184, 185	ofrfval2 6546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ H <-> A. x e. RR ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) ) )
187	186	biimpd 211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ H -> A. x e. RR ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) ) )
188	187	impr 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A. x e. RR ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) )
189	188	r19.21bi 2756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) )
190	179, 189	syldan 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) )
191	163	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> x e. U )
192	191	iftrued 3888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. U , C , 0 ) = C )
193	190, 192	breqtrd 4426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) <_ C )
194		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) = ( f ` x ) )
195	194	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) = ( f ` x ) )
196		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = C )
197	196	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , C , 0 ) = C )
198	193, 195, 197	3brtr4d 4432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
199		0le0 10696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 0
200	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
201		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) = 0 )
202		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = 0 )
203	200, 201, 202	3brtr4d 4432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
204	203	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ -. x e. A ) -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
205	198, 204	pm2.61dan 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
206	205	a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR -> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) ) )
207	177, 206	ralrimi 2787	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A. x e. RR if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
208	168	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) )
209	31, 35, 167, 38, 208	ofrfval2 6546	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ F <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) ) )
210	209	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ F <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) ) )
211	207, 210	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ F )
212		itg2ub 22684	. . . . . . 7 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ F ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` F ) )
213	170, 8, 211, 212	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` F ) )
214		ssun2 3597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B C_ ( A u. B )
215	214, 72	syl5sseqr 3480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ U )
216	215	sselda 3431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. U )
217	216	adantlr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. B ) -> x e. U )
218	217, 85	syldan 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
219	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. B ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
220	218, 219	ifclda 3912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. B , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
221		itg2split.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. B , C , 0 ) )
222	220, 221	fmptd 6044	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
223	222	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
224		mblss 22478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. dom vol -> B C_ RR )
225	12, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> B C_ RR )
226	225	sselda 3431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> x e. RR )
227	226, 189	syldan 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> ( f ` x ) <_ if ( x e. U , C , 0 ) )
228	216	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> x e. U )
229	228	iftrued 3888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> if ( x e. U , C , 0 ) = C )
230	227, 229	breqtrd 4426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> ( f ` x ) <_ C )
231		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. B -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) = ( f ` x ) )
232	231	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) = ( f ` x ) )
233		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. B -> if ( x e. B , C , 0 ) = C )
234	233	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> if ( x e. B , C , 0 ) = C )
235	230, 232, 234	3brtr4d 4432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ x e. B ) -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
236	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. B -> 0 <_ 0 )
237		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. B -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) = 0 )
238		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. B -> if ( x e. B , C , 0 ) = 0 )
239	236, 237, 238	3brtr4d 4432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. B -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
240	239	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) /\ -. x e. B ) -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
241	235, 240	pm2.61dan 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
242	241	a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR -> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) ) )
243	177, 242	ralrimi 2787	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> A. x e. RR if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
244	221	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( x e. RR |-> if ( x e. B , C , 0 ) ) )
245	31, 37, 220, 39, 244	ofrfval2 6546	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ G <-> A. x e. RR if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) ) )
246	245	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ G <-> A. x e. RR if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) ) )
247	243, 246	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ G )
248		itg2ub 22684	. . . . . . 7 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) oR <_ G ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
249	223, 15, 247, 248	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
250	10, 17, 159, 160, 213, 249	le2addd 10229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( f ` x ) , 0 ) ) ) + ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( x e. B , ( f ` x ) , 0 ) ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
251	3, 18, 22, 158, 250	letrd 9789	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ H ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
252	251	expr 619	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ H -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) )
253	252	ralrimiva 2801	. 2 |- ( ph -> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ H -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) )
254	21	rexrd 9687	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR* )
255		itg2leub 22685	. . 3 |- ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR* ) -> ( ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ H -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) ) )
256	90, 254, 255	syl2anc 666	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ H -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) ) )
257	253, 256	mpbird 236	1 |- ( ph -> ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   u. cun 3401   i^i cin 3402   C_ wss 3403   ifcif 3880   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   _I cid 4743   dom cdm 4833   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   oFcof 6526   oRcofr 6527   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   + caddc 9539   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671   <_ cle 9673   [,]cicc 11635   vol*covol 22406   volcvol 22408   S.1citg1 22566   S.2citg2 22567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572

This theorem is referenced by:  itg2split  22700