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Theorem itg2splitlem 21126
Description: Lemma for itg2split 21127. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2split.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
itg2split.i  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
itg2split.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
itg2split.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
itg2split.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
itg2split.g  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
itg2split.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
itg2split.sf  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2split.sg  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, U
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)    H( x)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 750 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
2 itg1cl 21063 . . . . . 6  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
4 itg2split.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
54adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A  e.  dom  vol )
6 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) )
76i1fres 21083 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
81, 5, 7syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
9 itg1cl 21063 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11 itg2split.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
1211adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  B  e.  dom  vol )
13 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )
1413i1fres 21083 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
151, 12, 14syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
16 itg1cl 21063 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1810, 17readdcld 9409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
19 itg2split.sf . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
20 itg2split.sg . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
2119, 20readdcld 9409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
2221adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR )
23 inss1 3567 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
24 mblss 20914 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
254, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2623, 25syl5ss 3364 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  RR )
2726adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  RR )
28 itg2split.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
2928adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
30 reex 9369 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
32 fvex 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
33 c0ex 9376 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
3432, 33ifex 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V )
3632, 33ifex 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V )
38 eqidd 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
39 eqidd 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
4031, 35, 37, 38, 39offval2 6335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )
4140adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) ) )
428, 15i1fadd 21073 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  dom  S.1 )
4341, 42eqeltrrd 2516 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  dom  S.1 )
44 i1ff 21054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
451, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f : RR
--> RR )
46 eldifi 3475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  y  e.  RR )
47 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  e.  RR )
4845, 46, 47syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  e.  RR )
4948leidd 9902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( f `  y ) )
5049adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( f `  y
) )
51 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
5251adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
53 eldifn 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  -.  y  e.  ( A  i^i  B ) )
5453adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  -.  y  e.  ( A  i^i  B ) )
55 elin 3536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
5654, 55sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  -.  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )
57 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  B
)  <->  -.  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
5856, 57sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  y  e.  B
) )
5958imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  -.  y  e.  B )
60 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  B  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
6252, 61oveq12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( ( f `  y )  +  0 ) )
6348recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  e.  CC )
6463adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  CC )
6564addid1d 9565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
( f `  y
)  +  0 )  =  ( f `  y ) )
6662, 65eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( f `
 y ) )
6750, 66breqtrrd 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) ) )
6849ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
f `  y )  <_  ( f `  y
) )
69 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
7069adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
7168, 70breqtrrd 4315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
f `  y )  <_  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) )
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7372ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7473eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  U  <->  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
75 elun 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
7674, 75syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  U  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B )
) )
7776notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( -.  y  e.  U  <->  -.  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) ) )
78 ioran 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  <->  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )
7977, 78syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( -.  y  e.  U  <->  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) ) )
8079biimpar 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )  ->  -.  y  e.  U )
81 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f  oR  <_  H )
82 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
8345, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  f  Fn  RR )
84 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8584adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
86 0e0iccpnf 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  U )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8885, 87ifclda 3818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
89 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
9088, 89fmptd 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
91 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  H  Fn  RR )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  H  Fn  RR )
9392adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  H  Fn  RR )
9430a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  RR  e.  _V )
95 inidm 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
96 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  =  ( f `
 y ) )
97 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( H `  y
)  =  ( H `
 y ) )
9883, 93, 94, 94, 95, 96, 97ofrfval 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( f  oR  <_  H  <->  A. y  e.  RR  ( f `  y )  <_  ( H `  y )
) )
9981, 98mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. y  e.  RR  ( f `  y )  <_  ( H `  y )
)
10099r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  <_  ( H `  y ) )
10146, 100sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( H `  y ) )
102101adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
f `  y )  <_  ( H `  y
) )
10346adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
y  e.  RR )
104 eldif 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \  U )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  U ) )
105 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
y
106 nfmpt1 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
10789, 106nfcxfr 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x H
108107, 105nffv 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( H `  y
)
109108nfeq1 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( H `  y
)  =  0
110 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
111110eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  x
)  =  0  <->  ( H `  y )  =  0 ) )
112 eldif 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( RR  \  U )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  U ) )
11389fvmpt2i 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  ( H `  x )  =  (  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
114 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  x  e.  U  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  0 )
115114fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  e.  U  -> 
(  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
116 0cn 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
117 fvi 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
119115, 118syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  e.  U  -> 
(  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )  =  0 )
120113, 119sylan9eq 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  U
)  ->  ( H `  x )  =  0 )
121112, 120sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( RR  \  U )  ->  ( H `  x )  =  0 )
122105, 109, 111, 121vtoclgaf 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \  U )  ->  ( H `  y )  =  0 )
123104, 122sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  U
)  ->  ( H `  y )  =  0 )
124103, 123sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  ( H `  y )  =  0 )
125102, 124breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
f `  y )  <_  0 )
12680, 125syldan 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )  ->  (
f `  y )  <_  0 )
127126anassrs 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  <_  0 )
12860adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 )  =  0 )
129127, 128breqtrrd 4315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  <_  if (
y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
13071, 129pm2.61dan 784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) )
131 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
132131adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
133132oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
134 0re 9382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
135 ifcl 3828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
13648, 134, 135sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  RR )
137136recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  CC )
138137adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  CC )
139138addid2d 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
0  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
140133, 139eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
141130, 140breqtrrd 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) ) )
14267, 141pm2.61dan 784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) ) )
143 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
144 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
145143, 144ifbieq1d 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  A , 
( f `  y
) ,  0 ) )
146 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
147146, 144ifbieq1d 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
148145, 147oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) ) )
149 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
150 ovex 6115 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  e.  _V
151148, 149, 150fvmpt 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y )  =  ( if ( y  e.  A ,  ( f `
 y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
152103, 151syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y )  =  ( if ( y  e.  A , 
( f `  y
) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
153142, 152breqtrrd 4315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( (
x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y ) )
1541, 27, 29, 43, 153itg1lea 21090 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
15541fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
1568, 15itg1add 21079 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
157155, 156eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
158154, 157breqtrd 4313 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) ) ) )
15919adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
16020adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
161 ssun1 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
162161, 72syl5sseqr 3402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
163162sselda 3353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
164163adantlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
165164, 85syldan 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16686a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
167165, 166ifclda 3818 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
168 itg2split.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
169167, 168fmptd 5864 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
170169adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
171 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ph
172 nfv 1678 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  f  e.  dom  S.1
173 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
f
174 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  oR  <_
175173, 174, 107nfbr 4333 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  f  oR  <_  H
176172, 175nfan 1865 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  H )
177171, 176nfan 1865 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )
1785, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A  C_  RR )
179178sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
18030a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  RR  e.  _V )
18132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  e.  _V )
18288adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
18344adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  f : RR --> RR )
184183feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x ) ) )
18589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
186180, 181, 182, 184, 185ofrfval2 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  H 
<-> 
A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
187186biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  H  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
188187impr 616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
189188r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
190179, 189syldan 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
191163adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
192 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  U  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  C )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C , 
0 )  =  C )
194190, 193breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  <_  C )
195 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  ( f `
 x ) )
196195adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  =  ( f `  x ) )
197 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
198197adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  =  C )
199194, 196, 1983brtr4d 4319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
200 0le0 10407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  0
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
202 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  0 )
203 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
204201, 202, 2033brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) )
205204adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
206199, 205pm2.61dan 784 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
207206a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
208177, 207ralrimi 2795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
209168a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
21031, 35, 167, 38, 209ofrfval2 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
211210adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
212208, 211mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)
213 itg2ub 21111 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
214170, 8, 212, 213syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
215 ssun2 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
216215, 72syl5sseqr 3402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
217216sselda 3353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
218217adantlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
219218, 85syldan 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
22086a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
221219, 220ifclda 3818 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
222 itg2split.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
223221, 222fmptd 5864 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
224223adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
225 mblss 20914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
22612, 225syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  B  C_  RR )
227226sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  RR )
228227, 189syldan 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
229217adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
230229, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  U ,  C , 
0 )  =  C )
231228, 230breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  <_  C )
232 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  ( f `
 x ) )
233232adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `
 x ) ,  0 )  =  ( f `  x ) )
234 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
235234adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  C , 
0 )  =  C )
236231, 233, 2353brtr4d 4319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
237200a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  -> 
0  <_  0 )
238 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  0 )
239 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
240237, 238, 2393brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) )
241240adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  /\  -.  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
242236, 241pm2.61dan 784 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
243242a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
244177, 243ralrimi 2795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
245222a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
24631, 37, 221, 39, 245ofrfval2 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
247246adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
248244, 247mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G
)
249 itg2ub 21111 . . . . . . 7  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  G
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  G ) )
250224, 15, 248, 249syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  G ) )
25110, 17, 159, 160, 214, 250le2addd 9953 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
2523, 18, 22, 158, 251letrd 9524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
253252expr 612 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
254253ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
25521rexrd 9429 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
256 itg2leub 21112 . . 3  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  H )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
25790, 255, 256syl2anc 656 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
258254, 257mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    _I cid 4627   dom cdm 4836    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317    oRcofr 6318   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    <_ cle 9415   [,]cicc 11299   vol*covol 20846   volcvol 20847   S.1citg1 20995   S.2citg2 20996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cmp 18890  df-ovol 20848  df-vol 20849  df-mbf 20999  df-itg1 21000  df-itg2 21001
This theorem is referenced by:  itg2split  21127
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