Theorem xpsc0 16043

Description: The pair function maps 0 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsc0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem xpsc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsc 16040	. . . 4 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
2	1	fveq1i 6104	. . 3 ⊢ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅)
3		fnconstg 6006	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn {∅})
4		vex 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		fvi 6165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘𝑥) = 𝑥
7		elsni 4142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
8	7	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
9	6, 8	syl5eqr 2658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = ( I ‘𝐵))
10		velsn 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐵))
11	9, 10	sylibr 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)})
12	11	ssriv 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)}
13		xpss2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)} → ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)})
15		1on 7454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 ∈ On
16	15	elexi 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ 1𝑜 ∈ V
17		fvex 6113	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝐵) ∈ V
18	16, 17	xpsn 6313	. . . . . . . 8 ⊢ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)}) = {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
19	14, 18	sseqtri 3600	. . . . . . 7 ⊢ ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
20	16, 17	funsn 5853	. . . . . . 7 ⊢ Fun {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
21		funss 5822	. . . . . . 7 ⊢ (({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩} → (Fun {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩} → Fun ({1𝑜} × {𝐵})))
22	19, 20, 21	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ Fun ({1𝑜} × {𝐵})
23		funfn 5833	. . . . . 6 ⊢ (Fun ({1𝑜} × {𝐵}) ↔ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}))
24	22, 23	mpbi 219	. . . . 5 ⊢ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵})
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}))
26		dmxpss 5484	. . . . . . 7 ⊢ dom ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {1𝑜}
27		sslin 3801	. . . . . . 7 ⊢ (dom ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {1𝑜} → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜})
29		1n0 7462	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
30	29	necomi 2836	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≠ 1𝑜
31		disjsn2 4193	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅
33		sseq0 3927	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}) ∧ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅) → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅)
34	28, 32, 33	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅)
36		0ex 4718	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
37	36	snid 4155	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ {∅})
39		fvun1 6179	. . . 4 ⊢ ((({∅} × {𝐴}) Fn {∅} ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}) ∧ (({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅ ∧ ∅ ∈ {∅})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
40	3, 25, 35, 38, 39	syl112anc 1322	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
41	2, 40	syl5eq 2656	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
42		xpsng 6312	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
43	42	fveq1d 6105	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅))
44		fvsng 6352	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅) = 𝐴)
45	43, 44	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
46	36, 45	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
47	41, 46	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131   I cid 4948   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  Oncon0 5640  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   +_𝑐 ccda 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1o 7447  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  xpscfv  16045  xpsfeq  16047  xpsfrnel2  16048  xpsff1o  16051  xpsle  16064  dmdprdpr  18271  dprdpr  18272  xpstopnlem1  21422  xpstopnlem2  21424  xpsxmetlem  21994  xpsdsval  21996  xpsmet  21997