Theorem xpsc 16040

Description: A short expression for the pair function mapping 0 to 𝐴 and 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsc	⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))

Proof of Theorem xpsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4835	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
2		snex 4835	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
3		cdaval 8875	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})))
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . 3 ⊢ ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
5	4	cnveqi 5219	. 2 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = ◡(({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
6		cnvun 5457	. 2 ⊢ ◡(({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})) = (◡({𝐴} × {∅}) ∪ ◡({𝐵} × {1𝑜}))
7		cnvxp 5470	. . 3 ⊢ ◡({𝐴} × {∅}) = ({∅} × {𝐴})
8		cnvxp 5470	. . 3 ⊢ ◡({𝐵} × {1𝑜}) = ({1𝑜} × {𝐵})
9	7, 8	uneq12i 3727	. 2 ⊢ (◡({𝐴} × {∅}) ∪ ◡({𝐵} × {1𝑜})) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
10	5, 6, 9	3eqtri 2636	1 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  {csn 4125   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   +_𝑐 ccda 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  xpscg  16041  xpsc0  16043  xpsc1  16044  xpsfrnel2  16048