MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc Structured version   Unicode version

Theorem xpsc 15451
Description: A short expression for the pair function mapping  0 to  A and  1 to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )

Proof of Theorem xpsc
StepHypRef Expression
1 snex 4659 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
2 snex 4659 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
3 cdaval 8601 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  { B }  e.  _V )  ->  ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) ) )
41, 2, 3mp2an 676 . . 3  |-  ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )
54cnveqi 5025 . 2  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  `' ( ( { A }  X.  { (/)
} )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )
6 cnvun 5257 . 2  |-  `' ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )  =  ( `' ( { A }  X.  { (/) } )  u.  `' ( { B }  X.  { 1o }
) )
7 cnvxp 5270 . . 3  |-  `' ( { A }  X.  { (/) } )  =  ( { (/) }  X.  { A } )
8 cnvxp 5270 . . 3  |-  `' ( { B }  X.  { 1o } )  =  ( { 1o }  X.  { B } )
97, 8uneq12i 3618 . 2  |-  ( `' ( { A }  X.  { (/) } )  u.  `' ( { B }  X.  { 1o }
) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } )  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
105, 6, 93eqtri 2455 1  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    u. cun 3434   (/)c0 3761   {csn 3996    X. cxp 4848   `'ccnv 4849  (class class class)co 6302   1oc1o 7180    +c ccda 8598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-cda 8599
This theorem is referenced by:  xpscg  15452  xpsc0  15454  xpsc1  15455  xpsfrnel2  15459
  Copyright terms: Public domain W3C validator