MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc Structured version   Unicode version

Theorem xpsc 14936
Description: A short expression for the pair function mapping  0 to  A and  1 to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )

Proof of Theorem xpsc
StepHypRef Expression
1 snex 4678 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
2 snex 4678 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
3 cdaval 8553 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  { B }  e.  _V )  ->  ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) ) )
41, 2, 3mp2an 672 . . 3  |-  ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )
54cnveqi 5167 . 2  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  `' ( ( { A }  X.  { (/)
} )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )
6 cnvun 5401 . 2  |-  `' ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )  =  ( `' ( { A }  X.  { (/) } )  u.  `' ( { B }  X.  { 1o }
) )
7 cnvxp 5414 . . 3  |-  `' ( { A }  X.  { (/) } )  =  ( { (/) }  X.  { A } )
8 cnvxp 5414 . . 3  |-  `' ( { B }  X.  { 1o } )  =  ( { 1o }  X.  { B } )
97, 8uneq12i 3641 . 2  |-  ( `' ( { A }  X.  { (/) } )  u.  `' ( { B }  X.  { 1o }
) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } )  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
105, 6, 93eqtri 2476 1  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    u. cun 3459   (/)c0 3770   {csn 4014    X. cxp 4987   `'ccnv 4988  (class class class)co 6281   1oc1o 7125    +c ccda 8550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-cda 8551
This theorem is referenced by:  xpscg  14937  xpsc0  14939  xpsc1  14940  xpsfrnel2  14944
  Copyright terms: Public domain W3C validator