MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc Structured version   Unicode version

Theorem xpsc 14510
Description: A short expression for the pair function mapping  0 to  A and  1 to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )

Proof of Theorem xpsc
StepHypRef Expression
1 snex 4548 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
2 snex 4548 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
3 cdaval 8354 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  { B }  e.  _V )  ->  ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) ) )
41, 2, 3mp2an 672 . . 3  |-  ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )
54cnveqi 5029 . 2  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  `' ( ( { A }  X.  { (/)
} )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )
6 cnvun 5257 . 2  |-  `' ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )  =  ( `' ( { A }  X.  { (/) } )  u.  `' ( { B }  X.  { 1o }
) )
7 cnvxp 5270 . . 3  |-  `' ( { A }  X.  { (/) } )  =  ( { (/) }  X.  { A } )
8 cnvxp 5270 . . 3  |-  `' ( { B }  X.  { 1o } )  =  ( { 1o }  X.  { B } )
97, 8uneq12i 3523 . 2  |-  ( `' ( { A }  X.  { (/) } )  u.  `' ( { B }  X.  { 1o }
) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } )  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
105, 6, 93eqtri 2467 1  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987    u. cun 3341   (/)c0 3652   {csn 3892    X. cxp 4853   `'ccnv 4854  (class class class)co 6106   1oc1o 6928    +c ccda 8351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fv 5441  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-cda 8352
This theorem is referenced by:  xpscg  14511  xpsc0  14513  xpsc1  14514  xpsfrnel2  14518
  Copyright terms: Public domain W3C validator