MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc Structured version   Unicode version

Theorem xpsc 14812
Description: A short expression for the pair function mapping  0 to  A and  1 to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )

Proof of Theorem xpsc
StepHypRef Expression
1 snex 4688 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
2 snex 4688 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
3 cdaval 8550 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  { B }  e.  _V )  ->  ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) ) )
41, 2, 3mp2an 672 . . 3  |-  ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )
54cnveqi 5177 . 2  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  `' ( ( { A }  X.  { (/)
} )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )
6 cnvun 5411 . 2  |-  `' ( ( { A }  X.  { (/) } )  u.  ( { B }  X.  { 1o } ) )  =  ( `' ( { A }  X.  { (/) } )  u.  `' ( { B }  X.  { 1o }
) )
7 cnvxp 5424 . . 3  |-  `' ( { A }  X.  { (/) } )  =  ( { (/) }  X.  { A } )
8 cnvxp 5424 . . 3  |-  `' ( { B }  X.  { 1o } )  =  ( { 1o }  X.  { B } )
97, 8uneq12i 3656 . 2  |-  ( `' ( { A }  X.  { (/) } )  u.  `' ( { B }  X.  { 1o }
) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } )  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
105, 6, 93eqtri 2500 1  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    u. cun 3474   (/)c0 3785   {csn 4027    X. cxp 4997   `'ccnv 4998  (class class class)co 6284   1oc1o 7123    +c ccda 8547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-cda 8548
This theorem is referenced by:  xpscg  14813  xpsc0  14815  xpsc1  14816  xpsfrnel2  14820
  Copyright terms: Public domain W3C validator