Theorem xpscg 16041

Description: A short expression for the pair function mapping 0 to 𝐴 and 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpscg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4718	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsng 6312	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
3	1, 2	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
4		1on 7454	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
5		xpsng 6312	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
6	4, 5	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
7		uneq12 3724	. . 3 ⊢ ((({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩} ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩}) → (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵})) = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩}))
8	3, 6, 7	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵})) = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩}))
9		xpsc 16040	. 2 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
10		df-pr 4128	. 2 ⊢ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
11	8, 9, 10	3eqtr4g 2669	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  Oncon0 5640  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   +_𝑐 ccda 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1o 7447  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  xpscfn  16042  xpstopnlem1  21422