Theorem xpsc1 16044

Description: The pair function maps 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsc1	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)

Proof of Theorem xpsc1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsc 16040	. . . 4 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
2	1	fveq1i 6104	. . 3 ⊢ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜)
3		vex 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		fvi 6165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘𝑥) = 𝑥
6		elsni 4142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7	6	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐴))
8	5, 7	syl5eqr 2658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = ( I ‘𝐴))
9		velsn 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐴))
10	8, 9	sylibr 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)})
11	10	ssriv 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)}
12		xpss2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)} → ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)})
14		0ex 4718	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
15		fvex 6113	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝐴) ∈ V
16	14, 15	xpsn 6313	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × {( I ‘𝐴)}) = {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
17	13, 16	sseqtri 3600	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
18	14, 15	funsn 5853	. . . . . . 7 ⊢ Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
19		funss 5822	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → (Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → Fun ({∅} × {𝐴})))
20	17, 18, 19	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ Fun ({∅} × {𝐴})
21		funfn 5833	. . . . . 6 ⊢ (Fun ({∅} × {𝐴}) ↔ ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
22	20, 21	mpbi 219	. . . . 5 ⊢ ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴})
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
24		fnconstg 6006	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({1𝑜} × {𝐵}) Fn {1𝑜})
25		dmxpss 5484	. . . . . . 7 ⊢ dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅}
26		ssrin 3800	. . . . . . 7 ⊢ (dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅} → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜})
28		1n0 7462	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
29	28	necomi 2836	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≠ 1𝑜
30		disjsn2 4193	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅
32		sseq0 3927	. . . . . 6 ⊢ (((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}) ∧ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅) → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅)
33	27, 31, 32	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅)
35		1on 7454	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
36	35	elexi 3186	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ V
37	36	snid 4155	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ {1𝑜}
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1𝑜 ∈ {1𝑜})
39		fvun2 6180	. . . 4 ⊢ ((({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}) ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn {1𝑜} ∧ ((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅ ∧ 1𝑜 ∈ {1𝑜})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
40	23, 24, 34, 38, 39	syl112anc 1322	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
41	2, 40	syl5eq 2656	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
42		xpsng 6312	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
43	42	fveq1d 6105	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = ({⟨1𝑜, 𝐵⟩}‘1𝑜))
44		fvsng 6352	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({⟨1𝑜, 𝐵⟩}‘1𝑜) = 𝐵)
45	43, 44	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
46	35, 45	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
47	41, 46	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131   I cid 4948   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  Oncon0 5640  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   +_𝑐 ccda 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1o 7447  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  xpscfv  16045  xpsfeq  16047  xpsfrnel2  16048  xpsff1o  16051  xpsle  16064  dmdprdpr  18271  dprdpr  18272  xpstopnlem1  21422  xpstopnlem2  21424  xpsxmetlem  21994  xpsdsval  21996  xpsmet  21997