Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrnel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsfrnel2 16048
 Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 16055. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfrnel2 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Proof of Theorem xpsfrnel2
StepHypRef Expression
1 xpsfrnel 16046 . 2 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵))
2 0ex 4718 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
32prid1 4241 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
4 df2o3 7460 . . . . . . . . 9 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
53, 4eleqtrri 2687 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 2𝑜
6 fndm 5904 . . . . . . . 8 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = 2𝑜)
75, 6syl5eleqr 2695 . . . . . . 7 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → ∅ ∈ dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}))
8 xpsc 16040 . . . . . . . . 9 ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = (({∅} × {𝑋}) ∪ ({1𝑜} × {𝑌}))
98dmeqi 5247 . . . . . . . 8 dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = dom (({∅} × {𝑋}) ∪ ({1𝑜} × {𝑌}))
10 dmun 5253 . . . . . . . 8 dom (({∅} × {𝑋}) ∪ ({1𝑜} × {𝑌})) = (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌}))
119, 10eqtri 2632 . . . . . . 7 dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌}))
127, 11syl6eleq 2698 . . . . . 6 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → ∅ ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
13 elun 3715 . . . . . . 7 (∅ ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) ↔ (∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ ∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
142eldm 5243 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ↔ ∃𝑘∅({∅} × {𝑋})𝑘)
15 brxp 5071 . . . . . . . . . . 11 (∅({∅} × {𝑋})𝑘 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝑘 ∈ {𝑋}))
16 elsni 4142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 = 𝑋)
17 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ V
1816, 17syl6eqelr 2697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ V)
1918adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝑘 ∈ {𝑋}) → 𝑋 ∈ V)
2015, 19sylbi 206 . . . . . . . . . 10 (∅({∅} × {𝑋})𝑘𝑋 ∈ V)
2120exlimiv 1845 . . . . . . . . 9 (∃𝑘∅({∅} × {𝑋})𝑘𝑋 ∈ V)
2214, 21sylbi 206 . . . . . . . 8 (∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) → 𝑋 ∈ V)
23 dmxpss 5484 . . . . . . . . . 10 dom ({1𝑜} × {𝑌}) ⊆ {1𝑜}
2423sseli 3564 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) → ∅ ∈ {1𝑜})
25 elsni 4142 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ {1𝑜} → ∅ = 1𝑜)
26 1n0 7462 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ≠ ∅
2726neii 2784 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1𝑜 = ∅
2827pm2.21i 115 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 = ∅ → 𝑋 ∈ V)
2928eqcoms 2618 . . . . . . . . 9 (∅ = 1𝑜𝑋 ∈ V)
3024, 25, 293syl 18 . . . . . . . 8 (∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) → 𝑋 ∈ V)
3122, 30jaoi 393 . . . . . . 7 ((∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ ∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑋 ∈ V)
3213, 31sylbi 206 . . . . . 6 (∅ ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑋 ∈ V)
3312, 32syl 17 . . . . 5 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜𝑋 ∈ V)
34 1on 7454 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ On
3534elexi 3186 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ V
3635prid2 4242 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
3736, 4eleqtrri 2687 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ 2𝑜
3837, 6syl5eleqr 2695 . . . . . . 7 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → 1𝑜 ∈ dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}))
3938, 11syl6eleq 2698 . . . . . 6 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → 1𝑜 ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
40 elun 3715 . . . . . . 7 (1𝑜 ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) ↔ (1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ 1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
41 dmxpss 5484 . . . . . . . . . 10 dom ({∅} × {𝑋}) ⊆ {∅}
4241sseli 3564 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) → 1𝑜 ∈ {∅})
43 elsni 4142 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ {∅} → 1𝑜 = ∅)
4427pm2.21i 115 . . . . . . . . 9 (1𝑜 = ∅ → 𝑌 ∈ V)
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . 8 (1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) → 𝑌 ∈ V)
4635eldm 5243 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) ↔ ∃𝑘1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘)
47 brxp 5071 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘 ↔ (1𝑜 ∈ {1𝑜} ∧ 𝑘 ∈ {𝑌}))
48 elsni 4142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑌} → 𝑘 = 𝑌)
4948, 17syl6eqelr 2697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {𝑌} → 𝑌 ∈ V)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜 ∈ {1𝑜} ∧ 𝑘 ∈ {𝑌}) → 𝑌 ∈ V)
5147, 50sylbi 206 . . . . . . . . . 10 (1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘𝑌 ∈ V)
5251exlimiv 1845 . . . . . . . . 9 (∃𝑘1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘𝑌 ∈ V)
5346, 52sylbi 206 . . . . . . . 8 (1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) → 𝑌 ∈ V)
5445, 53jaoi 393 . . . . . . 7 ((1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ 1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑌 ∈ V)
5540, 54sylbi 206 . . . . . 6 (1𝑜 ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑌 ∈ V)
5639, 55syl 17 . . . . 5 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜𝑌 ∈ V)
5733, 56jca 553 . . . 4 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
58573ad2ant1 1075 . . 3 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
59 elex 3185 . . . 4 (𝑋𝐴𝑋 ∈ V)
60 elex 3185 . . . 4 (𝑌𝐵𝑌 ∈ V)
6159, 60anim12i 588 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
62 3anass 1035 . . . 4 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵)))
63 xpscfn 16042 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜)
6463biantrurd 528 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵))))
65 xpsc0 16043 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) = 𝑋)
6665eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴𝑋𝐴))
67 xpsc1 16044 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) = 𝑌)
6867eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑌 ∈ V → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵𝑌𝐵))
6966, 68bi2anan9 913 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵)))
7064, 69bitr3d 269 . . . 4 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵)) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵)))
7162, 70syl5bb 271 . . 3 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵)))
7258, 61, 71pm5.21nii 367 . 2 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵))
731, 72bitri 263 1 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441  Xcixp 7794   +𝑐 ccda 8872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-cda 8873 This theorem is referenced by:  xpscf  16049  xpsff1o  16051
 Copyright terms: Public domain W3C validator