MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc0 Structured version   Unicode version

Theorem xpsc0 14490
Description: The pair function maps  0 to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc0  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )

Proof of Theorem xpsc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 14487 . . . 4  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
21fveq1i 5687 . . 3  |-  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 (/) )  =  ( ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )
3 fnconstg 5593 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  Fn  { (/)
} )
4 vex 2970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
5 fvi 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (  _I  `  x )  =  x )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  x )  =  x
7 elsni 3897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
87fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { B }  ->  (  _I  `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
96, 8syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  (  _I 
`  B ) )
10 elsn 3886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (  _I 
`  B ) }  <-> 
x  =  (  _I 
`  B ) )
119, 10sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  e.  { (  _I  `  B ) } )
1211ssriv 3355 . . . . . . . . 9  |-  { B }  C_  { (  _I 
`  B ) }
13 xpss2 4944 . . . . . . . . 9  |-  ( { B }  C_  { (  _I  `  B ) }  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } )
15 1on 6919 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
1615elexi 2977 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  _V
17 fvex 5696 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
`  B )  e. 
_V
1816, 17xpsn 5880 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } )  =  { <. 1o ,  (  _I  `  B )
>. }
1914, 18sseqtri 3383 . . . . . . 7  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  { <. 1o ,  (  _I  `  B ) >. }
2016, 17funsn 5461 . . . . . . 7  |-  Fun  { <. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }
21 funss 5431 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1o }  X.  { B } )  C_  {
<. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }  ->  ( Fun  { <. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }  ->  Fun  ( { 1o }  X.  { B } ) ) )
2219, 20, 21mp2 9 . . . . . 6  |-  Fun  ( { 1o }  X.  { B } )
23 funfn 5442 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( { 1o }  X.  { B } )  <-> 
( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )
2422, 23mpbi 208 . . . . 5  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } )
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )
26 dmxpss 5264 . . . . . . 7  |-  dom  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  { 1o }
27 sslin 3571 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( { 1o }  X.  { B } ) 
C_  { 1o }  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/)
}  i^i  { 1o } ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/) }  i^i  { 1o } )
29 1n0 6927 . . . . . . . 8  |-  1o  =/=  (/)
3029necomi 2689 . . . . . . 7  |-  (/)  =/=  1o
31 disjsn2 3932 . . . . . . 7  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  { 1o } )  =  (/)
33 sseq0 3664 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  /\  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/) )
3428, 32, 33mp2an 672 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/)
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/) )
36 0ex 4417 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
3736snid 3900 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
}
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  e.  { (/)
} )
39 fvun1 5757 . . . 4  |-  ( ( ( { (/) }  X.  { A } )  Fn 
{ (/) }  /\  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } )  /\  ( ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  { (/) } ) )  ->  (
( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) ) )
403, 25, 35, 38, 39syl112anc 1222 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) ) )
412, 40syl5eq 2482 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
) `  (/) ) )
42 xpsng 5879 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
4342fveq1d 5688 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  ( {
<. (/) ,  A >. } `
 (/) ) )
44 fvsng 5907 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { <. (/) ,  A >. } `
 (/) )  =  A )
4543, 44eqtrd 2470 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  A )
4636, 45mpan 670 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  A )
4741, 46eqtrd 2470 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   _Vcvv 2967    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   <.cop 3878    _I cid 4626   Oncon0 4714    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1oc1o 6905    +c ccda 8328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1o 6912  df-cda 8329
This theorem is referenced by:  xpscfv  14492  xpsfeq  14494  xpsfrnel2  14495  xpsff1o  14498  xpsle  14511  dmdprdpr  16536  dprdpr  16537  xpstopnlem1  19357  xpstopnlem2  19359  xpsxmetlem  19929  xpsdsval  19931  xpsmet  19932
  Copyright terms: Public domain W3C validator