MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc0 Structured version   Unicode version

Theorem xpsc0 14481
Description: The pair function maps  0 to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc0  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )

Proof of Theorem xpsc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 14478 . . . 4  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
21fveq1i 5680 . . 3  |-  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 (/) )  =  ( ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )
3 fnconstg 5586 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  Fn  { (/)
} )
4 vex 2965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
5 fvi 5736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (  _I  `  x )  =  x )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  x )  =  x
7 elsni 3890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
87fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { B }  ->  (  _I  `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
96, 8syl5eqr 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  (  _I 
`  B ) )
10 elsn 3879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (  _I 
`  B ) }  <-> 
x  =  (  _I 
`  B ) )
119, 10sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  e.  { (  _I  `  B ) } )
1211ssriv 3348 . . . . . . . . 9  |-  { B }  C_  { (  _I 
`  B ) }
13 xpss2 4936 . . . . . . . . 9  |-  ( { B }  C_  { (  _I  `  B ) }  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } )
15 1on 6915 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
1615elexi 2972 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  _V
17 fvex 5689 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
`  B )  e. 
_V
1816, 17xpsn 5872 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } )  =  { <. 1o ,  (  _I  `  B )
>. }
1914, 18sseqtri 3376 . . . . . . 7  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  { <. 1o ,  (  _I  `  B ) >. }
2016, 17funsn 5454 . . . . . . 7  |-  Fun  { <. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }
21 funss 5424 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1o }  X.  { B } )  C_  {
<. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }  ->  ( Fun  { <. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }  ->  Fun  ( { 1o }  X.  { B } ) ) )
2219, 20, 21mp2 9 . . . . . 6  |-  Fun  ( { 1o }  X.  { B } )
23 funfn 5435 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( { 1o }  X.  { B } )  <-> 
( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )
2422, 23mpbi 208 . . . . 5  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } )
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )
26 dmxpss 5257 . . . . . . 7  |-  dom  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  { 1o }
27 sslin 3564 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( { 1o }  X.  { B } ) 
C_  { 1o }  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/)
}  i^i  { 1o } ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/) }  i^i  { 1o } )
29 1n0 6923 . . . . . . . 8  |-  1o  =/=  (/)
3029necomi 2684 . . . . . . 7  |-  (/)  =/=  1o
31 disjsn2 3925 . . . . . . 7  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  { 1o } )  =  (/)
33 sseq0 3657 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  /\  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/) )
3428, 32, 33mp2an 665 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/)
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/) )
36 0ex 4410 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
3736snid 3893 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
}
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  e.  { (/)
} )
39 fvun1 5750 . . . 4  |-  ( ( ( { (/) }  X.  { A } )  Fn 
{ (/) }  /\  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } )  /\  ( ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  { (/) } ) )  ->  (
( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) ) )
403, 25, 35, 38, 39syl112anc 1215 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) ) )
412, 40syl5eq 2477 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
) `  (/) ) )
42 xpsng 5871 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
4342fveq1d 5681 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  ( {
<. (/) ,  A >. } `
 (/) ) )
44 fvsng 5899 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { <. (/) ,  A >. } `
 (/) )  =  A )
4543, 44eqtrd 2465 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  A )
4636, 45mpan 663 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  A )
4741, 46eqtrd 2465 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   <.cop 3871    _I cid 4618   Oncon0 4706    X. cxp 4825   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1oc1o 6901    +c ccda 8324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1o 6908  df-cda 8325
This theorem is referenced by:  xpscfv  14483  xpsfeq  14485  xpsfrnel2  14486  xpsff1o  14489  xpsle  14502  dmdprdpr  16522  dprdpr  16523  xpstopnlem1  19224  xpstopnlem2  19226  xpsxmetlem  19796  xpsdsval  19798  xpsmet  19799
  Copyright terms: Public domain W3C validator