MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xpsc0 15478
Description: The pair function maps  0 to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc0  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )

Proof of Theorem xpsc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 15475 . . . 4  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
21fveq1i 5871 . . 3  |-  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 (/) )  =  ( ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )
3 fnconstg 5776 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  Fn  { (/)
} )
4 vex 3050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
5 fvi 5927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (  _I  `  x )  =  x )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  x )  =  x
7 elsni 3995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
87fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { B }  ->  (  _I  `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
96, 8syl5eqr 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  (  _I 
`  B ) )
10 elsn 3984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (  _I 
`  B ) }  <-> 
x  =  (  _I 
`  B ) )
119, 10sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  e.  { (  _I  `  B ) } )
1211ssriv 3438 . . . . . . . . 9  |-  { B }  C_  { (  _I 
`  B ) }
13 xpss2 4947 . . . . . . . . 9  |-  ( { B }  C_  { (  _I  `  B ) }  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } )
15 1on 7194 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
1615elexi 3057 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  _V
17 fvex 5880 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
`  B )  e. 
_V
1816, 17xpsn 6071 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } )  =  { <. 1o ,  (  _I  `  B )
>. }
1914, 18sseqtri 3466 . . . . . . 7  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  { <. 1o ,  (  _I  `  B ) >. }
2016, 17funsn 5633 . . . . . . 7  |-  Fun  { <. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }
21 funss 5603 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1o }  X.  { B } )  C_  {
<. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }  ->  ( Fun  { <. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }  ->  Fun  ( { 1o }  X.  { B } ) ) )
2219, 20, 21mp2 9 . . . . . 6  |-  Fun  ( { 1o }  X.  { B } )
23 funfn 5614 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( { 1o }  X.  { B } )  <-> 
( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )
2422, 23mpbi 212 . . . . 5  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } )
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )
26 dmxpss 5271 . . . . . . 7  |-  dom  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  { 1o }
27 sslin 3660 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( { 1o }  X.  { B } ) 
C_  { 1o }  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/)
}  i^i  { 1o } ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/) }  i^i  { 1o } )
29 1n0 7202 . . . . . . . 8  |-  1o  =/=  (/)
3029necomi 2680 . . . . . . 7  |-  (/)  =/=  1o
31 disjsn2 4035 . . . . . . 7  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  { 1o } )  =  (/)
33 sseq0 3768 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  /\  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/) )
3428, 32, 33mp2an 679 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/)
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/) )
36 0ex 4538 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
3736snid 3998 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
}
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  e.  { (/)
} )
39 fvun1 5941 . . . 4  |-  ( ( ( { (/) }  X.  { A } )  Fn 
{ (/) }  /\  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } )  /\  ( ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  { (/) } ) )  ->  (
( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) ) )
403, 25, 35, 38, 39syl112anc 1273 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) ) )
412, 40syl5eq 2499 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
) `  (/) ) )
42 xpsng 6070 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
4342fveq1d 5872 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  ( {
<. (/) ,  A >. } `
 (/) ) )
44 fvsng 6103 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { <. (/) ,  A >. } `
 (/) )  =  A )
4543, 44eqtrd 2487 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  A )
4636, 45mpan 677 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  A )
4741, 46eqtrd 2487 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   _Vcvv 3047    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   <.cop 3976    _I cid 4747    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   Oncon0 5426   Fun wfun 5579    Fn wfn 5580   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1oc1o 7180    +c ccda 8602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-ord 5429  df-on 5430  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1o 7187  df-cda 8603
This theorem is referenced by:  xpscfv  15480  xpsfeq  15482  xpsfrnel2  15483  xpsff1o  15486  xpsle  15499  dmdprdpr  17694  dprdpr  17695  xpstopnlem1  20836  xpstopnlem2  20838  xpsxmetlem  21406  xpsdsval  21408  xpsmet  21409
  Copyright terms: Public domain W3C validator