MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc0 Structured version   Unicode version

Theorem xpsc0 14616
Description: The pair function maps  0 to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc0  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )

Proof of Theorem xpsc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 14613 . . . 4  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
21fveq1i 5799 . . 3  |-  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 (/) )  =  ( ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )
3 fnconstg 5705 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  Fn  { (/)
} )
4 vex 3079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
5 fvi 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (  _I  `  x )  =  x )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  x )  =  x
7 elsni 4009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
87fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { B }  ->  (  _I  `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
96, 8syl5eqr 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  (  _I 
`  B ) )
10 elsn 3998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (  _I 
`  B ) }  <-> 
x  =  (  _I 
`  B ) )
119, 10sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  e.  { (  _I  `  B ) } )
1211ssriv 3467 . . . . . . . . 9  |-  { B }  C_  { (  _I 
`  B ) }
13 xpss2 5056 . . . . . . . . 9  |-  ( { B }  C_  { (  _I  `  B ) }  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } )
15 1on 7036 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
1615elexi 3086 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  _V
17 fvex 5808 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
`  B )  e. 
_V
1816, 17xpsn 5993 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  X.  {
(  _I  `  B
) } )  =  { <. 1o ,  (  _I  `  B )
>. }
1914, 18sseqtri 3495 . . . . . . 7  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  { <. 1o ,  (  _I  `  B ) >. }
2016, 17funsn 5573 . . . . . . 7  |-  Fun  { <. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }
21 funss 5543 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1o }  X.  { B } )  C_  {
<. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }  ->  ( Fun  { <. 1o ,  (  _I 
`  B ) >. }  ->  Fun  ( { 1o }  X.  { B } ) ) )
2219, 20, 21mp2 9 . . . . . 6  |-  Fun  ( { 1o }  X.  { B } )
23 funfn 5554 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( { 1o }  X.  { B } )  <-> 
( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )
2422, 23mpbi 208 . . . . 5  |-  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } )
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )
26 dmxpss 5376 . . . . . . 7  |-  dom  ( { 1o }  X.  { B } )  C_  { 1o }
27 sslin 3683 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( { 1o }  X.  { B } ) 
C_  { 1o }  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/)
}  i^i  { 1o } ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/) }  i^i  { 1o } )
29 1n0 7044 . . . . . . . 8  |-  1o  =/=  (/)
3029necomi 2721 . . . . . . 7  |-  (/)  =/=  1o
31 disjsn2 4044 . . . . . . 7  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  { 1o } )  =  (/)
33 sseq0 3776 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  C_  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  /\  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/) )
3428, 32, 33mp2an 672 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/)
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/) )
36 0ex 4529 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
3736snid 4012 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
}
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  e.  { (/)
} )
39 fvun1 5870 . . . 4  |-  ( ( ( { (/) }  X.  { A } )  Fn 
{ (/) }  /\  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  dom  ( { 1o }  X.  { B } )  /\  ( ( { (/) }  i^i  dom  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  { (/) } ) )  ->  (
( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) ) )
403, 25, 35, 38, 39syl112anc 1223 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) ) )
412, 40syl5eq 2507 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
) `  (/) ) )
42 xpsng 5992 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
4342fveq1d 5800 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  ( {
<. (/) ,  A >. } `
 (/) ) )
44 fvsng 6020 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { <. (/) ,  A >. } `
 (/) )  =  A )
4543, 44eqtrd 2495 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  A )
4636, 45mpan 670 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { (/) }  X.  { A } ) `  (/) )  =  A )
4741, 46eqtrd 2495 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   _Vcvv 3076    u. cun 3433    i^i cin 3434    C_ wss 3435   (/)c0 3744   {csn 3984   <.cop 3990    _I cid 4738   Oncon0 4826    X. cxp 4945   `'ccnv 4946   dom cdm 4947   Fun wfun 5519    Fn wfn 5520   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   1oc1o 7022    +c ccda 8446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-1o 7029  df-cda 8447
This theorem is referenced by:  xpscfv  14618  xpsfeq  14620  xpsfrnel2  14621  xpsff1o  14624  xpsle  14637  dmdprdpr  16669  dprdpr  16670  xpstopnlem1  19513  xpstopnlem2  19515  xpsxmetlem  20085  xpsdsval  20087  xpsmet  20088
  Copyright terms: Public domain W3C validator