Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpstopnlem2 21424
 Description: Lemma for xpstopn 21425. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstps.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpstopn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
xpstopn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
xpstopn.o 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
xpstopnlem.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpstopnlem.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpstopnlem.f 𝐹 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
xpstopnlem2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpstopnlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
2 fvex 6113 . . . . . 6 (Scalar‘𝑅) ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4 2on 7455 . . . . . 6 2𝑜 ∈ On
54a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 2𝑜 ∈ On)
6 xpscfn 16042 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
7 eqid 2610 . . . . 5 (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
81, 3, 5, 6, 7prdstopn 21241 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (∏t‘(TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
9 topnfn 15909 . . . . . . . 8 TopOpen Fn V
10 dffn2 5960 . . . . . . . . 9 (({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶V)
116, 10sylib 207 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶V)
12 fnfco 5982 . . . . . . . 8 ((TopOpen Fn V ∧ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶V) → (TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})) Fn 2𝑜)
139, 11, 12sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})) Fn 2𝑜)
14 xpsfeq 16047 . . . . . . 7 ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})) Fn 2𝑜({((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅)} +𝑐 {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜)}) = (TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅)} +𝑐 {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜)}) = (TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
16 0ex 4718 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
1716prid1 4241 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
18 df2o3 7460 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
1917, 18eleqtrri 2687 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ 2𝑜
20 fvco2 6183 . . . . . . . . . . 11 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅) = (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)))
216, 19, 20sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅) = (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)))
22 xpsc0 16043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopSp → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
2423fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = (TopOpen‘𝑅))
25 xpstopn.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
2624, 25syl6eqr 2662 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = 𝐽)
2721, 26eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅) = 𝐽)
2827sneqd 4137 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅)} = {𝐽})
29 1on 7454 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ On
3029elexi 3186 . . . . . . . . . . . . 13 1𝑜 ∈ V
3130prid2 4242 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
3231, 18eleqtrri 2687 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ 2𝑜
33 fvco2 6183 . . . . . . . . . . 11 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜) = (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)))
346, 32, 33sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜) = (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)))
35 xpsc1 16044 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ TopSp → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
3736fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = (TopOpen‘𝑆))
38 xpstopn.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
3937, 38syl6eqr 2662 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = 𝐾)
4034, 39eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜) = 𝐾)
4140sneqd 4137 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜)} = {𝐾})
4228, 41oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅)} +𝑐 {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜)}) = ({𝐽} +𝑐 {𝐾}))
4342cnveqd 5220 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅)} +𝑐 {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜)}) = ({𝐽} +𝑐 {𝐾}))
4415, 43eqtr3d 2646 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ({𝐽} +𝑐 {𝐾}))
4544fveq2d 6107 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (∏t‘(TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾})))
468, 45eqtrd 2644 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾})))
4746oveq1d 6564 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) qTop 𝐹) = ((∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾})) qTop 𝐹))
48 xpstps.t . . . 4 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
49 xpstopnlem.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑅)
50 xpstopnlem.y . . . 4 𝑌 = (Base‘𝑆)
51 simpl 472 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑅 ∈ TopSp)
52 simpr 476 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑆 ∈ TopSp)
53 xpstopnlem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
54 eqid 2610 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5548, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 1xpsval 16055 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑇 = (𝐹s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
5648, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 1xpslem 16056 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ran 𝐹 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
5753xpsff1o2 16054 . . . . 5 𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹
58 f1ocnv 6062 . . . . 5 (𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹𝐹:ran 𝐹1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
5957, 58mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐹:ran 𝐹1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
60 f1ofo 6057 . . . 4 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → 𝐹:ran 𝐹onto→(𝑋 × 𝑌))
6159, 60syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐹:ran 𝐹onto→(𝑋 × 𝑌))
62 ovex 6577 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V
6362a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
64 xpstopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
6555, 56, 61, 63, 7, 64imastopn 21333 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) qTop 𝐹))
6649, 25istps 20551 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6751, 66sylib 207 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6850, 38istps 20551 . . . . 5 (𝑆 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
6952, 68sylib 207 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
7053, 67, 69xpstopnlem1 21422 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾}))))
71 hmeocnv 21375 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾}))) → 𝐹 ∈ ((∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾}))Homeo(𝐽 ×t 𝐾)))
72 hmeoqtop 21388 . . 3 (𝐹 ∈ ((∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾}))Homeo(𝐽 ×t 𝐾)) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾})) qTop 𝐹))
7370, 71, 723syl 18 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾})) qTop 𝐹))
7447, 65, 733eqtr4d 2654 1 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  ran crn 5039   ∘ ccom 5042  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   +𝑐 ccda 8872  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  TopOpenctopn 15905  ∏tcpt 15922  Xscprds 15929   qTop cqtop 15986   ×s cxps 15989  TopOnctopon 20518  TopSpctps 20519   ×t ctx 21173  Homeochmeo 21366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368 This theorem is referenced by:  xpstopn  21425
 Copyright terms: Public domain W3C validator