MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpstps 21423
Description: A binary product of topologies is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpstps.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
xpstps ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑇 ∈ TopSp)

Proof of Theorem xpstps
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpstps.t . . 3 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4 simpl 472 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑅 ∈ TopSp)
5 simpr 476 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑆 ∈ TopSp)
6 eqid 2610 . . 3 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7 eqid 2610 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8 eqid 2610 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 16055 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑇 = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 16056 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
116xpsff1o2 16054 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
1211a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
13 f1ocnv 6062 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
14 f1ofo 6057 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
1512, 13, 143syl 18 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
16 fvex 6113 . . . 4 (Scalar‘𝑅) ∈ V
1716a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
18 2on 7455 . . . 4 2𝑜 ∈ On
1918a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 2𝑜 ∈ On)
20 xpscf 16049 . . . 4 (({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶TopSp ↔ (𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp))
2120biimpri 217 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶TopSp)
228, 17, 19, 21prdstps 21242 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ TopSp)
239, 10, 15, 22imastps 21334 1 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑇 ∈ TopSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5036  ccnv 5037  ran crn 5039  Oncon0 5640  wf 5800  ontowfo 5802  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  2𝑜c2o 7441   +𝑐 ccda 8872  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  Xscprds 15929   ×s cxps 15989  TopSpctps 20519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator