Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imastopn 21333
 Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imastps.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imastopn.r (𝜑𝑅𝑊)
imastopn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
imastopn.o 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imastopn (𝜑𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem imastopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imastps.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imastps.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imastopn.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑊)
5 imastopn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
6 eqid 2610 . . . . . . 7 (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6imastset 16005 . . . . . 6 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (𝐽 qTop 𝐹))
8 fvex 6113 . . . . . . . 8 (TopOpen‘𝑅) ∈ V
95, 8eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V
10 fofn 6030 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
12 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
132, 12syl6eqel 2696 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ V)
14 fnex 6386 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝑉𝑉 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
1511, 13, 14syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ V)
16 eqid 2610 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
1716qtopval 21308 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽})
189, 15, 17sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽})
197, 18eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽})
20 ssrab2 3650 . . . . . 6 {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (𝐹 𝐽)
21 imassrn 5396 . . . . . . . 8 (𝐹 𝐽) ⊆ ran 𝐹
22 forn 6031 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
233, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
241, 2, 3, 4imasbas 15995 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑈))
2523, 24eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))
2621, 25syl5sseq 3616 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 𝐽) ⊆ (Base‘𝑈))
27 sspwb 4844 . . . . . . 7 ((𝐹 𝐽) ⊆ (Base‘𝑈) ↔ 𝒫 (𝐹 𝐽) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
2826, 27sylib 207 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 (𝐹 𝐽) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
2920, 28syl5ss 3579 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
3019, 29eqsstrd 3602 . . . 4 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
31 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3231, 6topnid 15919 . . . 4 ((TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈) → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
3330, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
34 imastopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)
3533, 34syl6eqr 2662 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = 𝑂)
3635, 7eqtr3d 2646 1 (𝜑𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ◡ccnv 5037  ran crn 5039   “ cima 5041   Fn wfn 5799  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  TopSetcts 15774  TopOpenctopn 15905   qTop cqtop 15986   “s cimas 15987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-qtop 15990  df-imas 15991 This theorem is referenced by:  imastps  21334  xpstopnlem2  21424  qustgpopn  21733  qustgplem  21734  qustgphaus  21736  imasf1oxms  22104
 Copyright terms: Public domain W3C validator