MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopnlem2 Structured version   Unicode version

Theorem xpstopnlem2 19364
Description: Lemma for xpstopn 19365. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstps.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpstopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
xpstopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  S )
xpstopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  T )
xpstopnlem.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpstopnlem.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpstopnlem.f  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpstopnlem2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( J  tX  K ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, R, y    x, S, y   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    T( x, y)    F( x, y)    O( x, y)

Proof of Theorem xpstopnlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
2 fvex 5696 . . . . . 6  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
4 2on 6920 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  2o  e.  On )
6 xpscfn 14489 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o )
7 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  (
TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
81, 3, 5, 6, 7prdstopn 19181 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
9 topnfn 14356 . . . . . . . 8  |-  TopOpen  Fn  _V
10 dffn2 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o  <->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )
116, 10sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )
12 fnfco 5572 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )  -> 
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o )
139, 11, 12sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o )
14 xpsfeq 14494 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
16 0ex 4417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  _V
1716prid1 3978 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
18 df2o3 6925 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1917, 18eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  2o
20 fvco2 5761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `
 (/) )  =  (
TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) ) )
216, 19, 20sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) )  =  ( TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) )
22 xpsc0 14490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TopSp  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) )  =  R )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) )  =  R )
2423fveq2d 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )  =  (
TopOpen `  R ) )
25 xpstopn.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
2624, 25syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )  =  J )
2721, 26eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) )  =  J )
2827sneqd 3884 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) ) }  =  { J } )
29 1on 6919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  On
3029elexi 2977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  _V
3130prid2 3979 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
3231, 18eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  2o
33 fvco2 5761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `
 1o )  =  ( TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) ) )
346, 32, 33sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o )  =  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) ) )
35 xpsc1 14491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  TopSp  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o )  =  S
)
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )  =  S )
3736fveq2d 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )  =  (
TopOpen `  S ) )
38 xpstopn.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen `  S )
3937, 38syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )  =  K )
4034, 39eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o )  =  K
)
4140sneqd 3884 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) }  =  { K } )
4228, 41oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( { J }  +c  { K } ) )
4342cnveqd 5010 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  `' ( { J }  +c  { K }
) )
4415, 43eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  =  `' ( { J }  +c  { K }
) )
4544fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) ) )
468, 45eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) )
4746oveq1d 6101 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) qTop  `' F )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
48 xpstps.t . . . 4  |-  T  =  ( R  X.s  S )
49 xpstopnlem.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  R
)
50 xpstopnlem.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  S
)
51 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  R  e.  TopSp )
52 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  S  e.  TopSp )
53 xpstopnlem.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
54 eqid 2438 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
5548, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 1xpsval 14502 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  T  =  ( `' F  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
5648, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 1xpslem 14503 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ran  F  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
5753xpsff1o2 14501 . . . . 5  |-  F :
( X  X.  Y
)
-1-1-onto-> ran  F
58 f1ocnv 5648 . . . . 5  |-  ( F : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  F  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
5957, 58mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
60 f1ofo 5643 . . . 4  |-  ( `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y )  ->  `' F : ran  F -onto->
( X  X.  Y
) )
6159, 60syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' F : ran  F -onto-> ( X  X.  Y ) )
62 ovex 6111 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
6362a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  _V )
64 xpstopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  T )
6555, 56, 61, 63, 7, 64imastopn 19273 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( ( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) qTop  `' F
) )
6649, 25istps 18521 . . . . 5  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6751, 66sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6850, 38istps 18521 . . . . 5  |-  ( S  e.  TopSp 
<->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6952, 68sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
7053, 67, 69xpstopnlem1 19362 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  F  e.  ( ( J  tX  K ) Homeo ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) ) ) )
71 hmeocnv 19315 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  K ) Homeo (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) )  ->  `' F  e.  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) )
Homeo ( J  tX  K
) ) )
72 hmeoqtop 19328 . . 3  |-  ( `' F  e.  ( (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) Homeo ( J  tX  K ) )  ->  ( J  tX  K )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
7370, 71, 723syl 20 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( J  tX  K )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
7447, 65, 733eqtr4d 2480 1  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( J  tX  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   {csn 3872   {cpr 3874   Oncon0 4714    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   ran crn 4836    o. ccom 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   1oc1o 6905   2oc2o 6906    +c ccda 8328   Basecbs 14166  Scalarcsca 14233   TopOpenctopn 14352   Xt_cpt 14369   X_scprds 14376   qTop cqtop 14433    X.s cxps 14436  TopOnctopon 18479   TopSpctps 18481    tX ctx 19113   Homeochmeo 19306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-tx 19115  df-hmeo 19308
This theorem is referenced by:  xpstopn  19365
  Copyright terms: Public domain W3C validator