MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopnlem2 Structured version   Unicode version

Theorem xpstopnlem2 19500
Description: Lemma for xpstopn 19501. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstps.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpstopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
xpstopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  S )
xpstopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  T )
xpstopnlem.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpstopnlem.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpstopnlem.f  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpstopnlem2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( J  tX  K ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, R, y    x, S, y   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    T( x, y)    F( x, y)    O( x, y)

Proof of Theorem xpstopnlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
2 fvex 5799 . . . . . 6  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
4 2on 7028 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  2o  e.  On )
6 xpscfn 14599 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o )
7 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  (
TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
81, 3, 5, 6, 7prdstopn 19317 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
9 topnfn 14466 . . . . . . . 8  |-  TopOpen  Fn  _V
10 dffn2 5658 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o  <->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )
116, 10sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )
12 fnfco 5675 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )  -> 
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o )
139, 11, 12sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o )
14 xpsfeq 14604 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
16 0ex 4520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  _V
1716prid1 4081 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
18 df2o3 7033 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1917, 18eleqtrri 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  2o
20 fvco2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `
 (/) )  =  (
TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) ) )
216, 19, 20sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) )  =  ( TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) )
22 xpsc0 14600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TopSp  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) )  =  R )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) )  =  R )
2423fveq2d 5793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )  =  (
TopOpen `  R ) )
25 xpstopn.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
2624, 25syl6eqr 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )  =  J )
2721, 26eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) )  =  J )
2827sneqd 3987 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) ) }  =  { J } )
29 1on 7027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  On
3029elexi 3078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  _V
3130prid2 4082 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
3231, 18eleqtrri 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  2o
33 fvco2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `
 1o )  =  ( TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) ) )
346, 32, 33sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o )  =  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) ) )
35 xpsc1 14601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  TopSp  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o )  =  S
)
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )  =  S )
3736fveq2d 5793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )  =  (
TopOpen `  S ) )
38 xpstopn.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen `  S )
3937, 38syl6eqr 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )  =  K )
4034, 39eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o )  =  K
)
4140sneqd 3987 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) }  =  { K } )
4228, 41oveq12d 6208 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( { J }  +c  { K } ) )
4342cnveqd 5113 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  `' ( { J }  +c  { K }
) )
4415, 43eqtr3d 2494 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  =  `' ( { J }  +c  { K }
) )
4544fveq2d 5793 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) ) )
468, 45eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) )
4746oveq1d 6205 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) qTop  `' F )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
48 xpstps.t . . . 4  |-  T  =  ( R  X.s  S )
49 xpstopnlem.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  R
)
50 xpstopnlem.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  S
)
51 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  R  e.  TopSp )
52 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  S  e.  TopSp )
53 xpstopnlem.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
54 eqid 2451 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
5548, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 1xpsval 14612 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  T  =  ( `' F  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
5648, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 1xpslem 14613 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ran  F  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
5753xpsff1o2 14611 . . . . 5  |-  F :
( X  X.  Y
)
-1-1-onto-> ran  F
58 f1ocnv 5751 . . . . 5  |-  ( F : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  F  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
5957, 58mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
60 f1ofo 5746 . . . 4  |-  ( `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y )  ->  `' F : ran  F -onto->
( X  X.  Y
) )
6159, 60syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' F : ran  F -onto-> ( X  X.  Y ) )
62 ovex 6215 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
6362a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  _V )
64 xpstopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  T )
6555, 56, 61, 63, 7, 64imastopn 19409 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( ( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) qTop  `' F
) )
6649, 25istps 18657 . . . . 5  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6751, 66sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6850, 38istps 18657 . . . . 5  |-  ( S  e.  TopSp 
<->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6952, 68sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
7053, 67, 69xpstopnlem1 19498 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  F  e.  ( ( J  tX  K ) Homeo ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) ) ) )
71 hmeocnv 19451 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  K ) Homeo (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) )  ->  `' F  e.  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) )
Homeo ( J  tX  K
) ) )
72 hmeoqtop 19464 . . 3  |-  ( `' F  e.  ( (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) Homeo ( J  tX  K ) )  ->  ( J  tX  K )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
7370, 71, 723syl 20 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( J  tX  K )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
7447, 65, 733eqtr4d 2502 1  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( J  tX  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   (/)c0 3735   {csn 3975   {cpr 3977   Oncon0 4817    X. cxp 4936   `'ccnv 4937   ran crn 4939    o. ccom 4942    Fn wfn 5511   -->wf 5512   -onto->wfo 5514   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    |-> cmpt2 6192   1oc1o 7013   2oc2o 7014    +c ccda 8437   Basecbs 14276  Scalarcsca 14343   TopOpenctopn 14462   Xt_cpt 14479   X_scprds 14486   qTop cqtop 14543    X.s cxps 14546  TopOnctopon 18615   TopSpctps 18617    tX ctx 19249   Homeochmeo 19442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fi 7762  df-sup 7792  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-fz 11539  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-tx 19251  df-hmeo 19444
This theorem is referenced by:  xpstopn  19501
  Copyright terms: Public domain W3C validator