MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopnlem2 Structured version   Unicode version

Theorem xpstopnlem2 20397
Description: Lemma for xpstopn 20398. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstps.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpstopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
xpstopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  S )
xpstopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  T )
xpstopnlem.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpstopnlem.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpstopnlem.f  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpstopnlem2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( J  tX  K ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, R, y    x, S, y   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    T( x, y)    F( x, y)    O( x, y)

Proof of Theorem xpstopnlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
2 fvex 5784 . . . . . 6  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
4 2on 7056 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  2o  e.  On )
6 xpscfn 14966 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o )
7 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  (
TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
81, 3, 5, 6, 7prdstopn 20214 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
9 topnfn 14833 . . . . . . . 8  |-  TopOpen  Fn  _V
10 dffn2 5640 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o  <->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )
116, 10sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )
12 fnfco 5658 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )  -> 
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o )
139, 11, 12sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o )
14 xpsfeq 14971 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
16 0ex 4497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  _V
1716prid1 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
18 df2o3 7061 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1917, 18eleqtrri 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  2o
20 fvco2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `
 (/) )  =  (
TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) ) )
216, 19, 20sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) )  =  ( TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) )
22 xpsc0 14967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TopSp  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) )  =  R )
2322adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) )  =  R )
2423fveq2d 5778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )  =  (
TopOpen `  R ) )
25 xpstopn.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
2624, 25syl6eqr 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )  =  J )
2721, 26eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) )  =  J )
2827sneqd 3956 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) ) }  =  { J } )
29 1on 7055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  On
3029elexi 3044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  _V
3130prid2 4053 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
3231, 18eleqtrri 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  2o
33 fvco2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `
 1o )  =  ( TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) ) )
346, 32, 33sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o )  =  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) ) )
35 xpsc1 14968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  TopSp  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o )  =  S
)
3635adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )  =  S )
3736fveq2d 5778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )  =  (
TopOpen `  S ) )
38 xpstopn.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen `  S )
3937, 38syl6eqr 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )  =  K )
4034, 39eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o )  =  K
)
4140sneqd 3956 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) }  =  { K } )
4228, 41oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( { J }  +c  { K } ) )
4342cnveqd 5091 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  `' ( { J }  +c  { K }
) )
4415, 43eqtr3d 2425 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  =  `' ( { J }  +c  { K }
) )
4544fveq2d 5778 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) ) )
468, 45eqtrd 2423 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) )
4746oveq1d 6211 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) qTop  `' F )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
48 xpstps.t . . . 4  |-  T  =  ( R  X.s  S )
49 xpstopnlem.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  R
)
50 xpstopnlem.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  S
)
51 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  R  e.  TopSp )
52 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  S  e.  TopSp )
53 xpstopnlem.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
54 eqid 2382 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
5548, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 1xpsval 14979 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  T  =  ( `' F  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
5648, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 1xpslem 14980 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ran  F  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
5753xpsff1o2 14978 . . . . 5  |-  F :
( X  X.  Y
)
-1-1-onto-> ran  F
58 f1ocnv 5736 . . . . 5  |-  ( F : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  F  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
5957, 58mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
60 f1ofo 5731 . . . 4  |-  ( `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y )  ->  `' F : ran  F -onto->
( X  X.  Y
) )
6159, 60syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' F : ran  F -onto-> ( X  X.  Y ) )
62 ovex 6224 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
6362a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  _V )
64 xpstopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  T )
6555, 56, 61, 63, 7, 64imastopn 20306 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( ( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) qTop  `' F
) )
6649, 25istps 19522 . . . . 5  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6751, 66sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6850, 38istps 19522 . . . . 5  |-  ( S  e.  TopSp 
<->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6952, 68sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
7053, 67, 69xpstopnlem1 20395 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  F  e.  ( ( J  tX  K ) Homeo ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) ) ) )
71 hmeocnv 20348 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  K ) Homeo (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) )  ->  `' F  e.  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) )
Homeo ( J  tX  K
) ) )
72 hmeoqtop 20361 . . 3  |-  ( `' F  e.  ( (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) Homeo ( J  tX  K ) )  ->  ( J  tX  K )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
7370, 71, 723syl 20 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( J  tX  K )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
7447, 65, 733eqtr4d 2433 1  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( J  tX  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   (/)c0 3711   {csn 3944   {cpr 3946   Oncon0 4792    X. cxp 4911   `'ccnv 4912   ran crn 4914    o. ccom 4917    Fn wfn 5491   -->wf 5492   -onto->wfo 5494   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   1oc1o 7041   2oc2o 7042    +c ccda 8460   Basecbs 14634  Scalarcsca 14705   TopOpenctopn 14829   Xt_cpt 14846   X_scprds 14853   qTop cqtop 14910    X.s cxps 14913  TopOnctopon 19480   TopSpctps 19482    tX ctx 20146   Homeochmeo 20339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-tx 20148  df-hmeo 20341
This theorem is referenced by:  xpstopn  20398
  Copyright terms: Public domain W3C validator