MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopnlem2 Structured version   Unicode version

Theorem xpstopnlem2 19226
Description: Lemma for xpstopn 19227. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstps.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpstopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
xpstopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  S )
xpstopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  T )
xpstopnlem.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpstopnlem.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpstopnlem.f  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpstopnlem2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( J  tX  K ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, R, y    x, S, y   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    T( x, y)    F( x, y)    O( x, y)

Proof of Theorem xpstopnlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
2 fvex 5689 . . . . . 6  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
4 2on 6916 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  2o  e.  On )
6 xpscfn 14480 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o )
7 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  (
TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
81, 3, 5, 6, 7prdstopn 19043 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
9 topnfn 14347 . . . . . . . 8  |-  TopOpen  Fn  _V
10 dffn2 5548 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o  <->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )
116, 10sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )
12 fnfco 5565 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> _V )  -> 
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o )
139, 11, 12sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o )
14 xpsfeq 14485 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  Fn  2o  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
16 0ex 4410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  _V
1716prid1 3971 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
18 df2o3 6921 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1917, 18eleqtrri 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  2o
20 fvco2 5754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `
 (/) )  =  (
TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) ) )
216, 19, 20sylancl 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) )  =  ( TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) )
22 xpsc0 14481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TopSp  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) )  =  R )
2322adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) )  =  R )
2423fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )  =  (
TopOpen `  R ) )
25 xpstopn.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
2624, 25syl6eqr 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )  =  J )
2721, 26eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) )  =  J )
2827sneqd 3877 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  (/) ) }  =  { J } )
29 1on 6915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  On
3029elexi 2972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  _V
3130prid2 3972 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
3231, 18eleqtrri 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  2o
33 fvco2 5754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `
 1o )  =  ( TopOpen `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) ) )
346, 32, 33sylancl 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o )  =  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) ) )
35 xpsc1 14482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  TopSp  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o )  =  S
)
3635adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )  =  S )
3736fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )  =  (
TopOpen `  S ) )
38 xpstopn.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen `  S )
3937, 38syl6eqr 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )  =  K )
4034, 39eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o )  =  K
)
4140sneqd 3877 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) }  =  { K } )
4228, 41oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  ( { J }  +c  { K } ) )
4342cnveqd 5002 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { ( ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S }
) ) `  (/) ) }  +c  { ( (
TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) `  1o ) } )  =  `' ( { J }  +c  { K }
) )
4415, 43eqtr3d 2467 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) )  =  `' ( { J }  +c  { K }
) )
4544fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) ) )
468, 45eqtrd 2465 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( TopOpen
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) )
4746oveq1d 6095 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) qTop  `' F )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
48 xpstps.t . . . 4  |-  T  =  ( R  X.s  S )
49 xpstopnlem.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  R
)
50 xpstopnlem.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  S
)
51 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  R  e.  TopSp )
52 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  S  e.  TopSp )
53 xpstopnlem.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
54 eqid 2433 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
5548, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 1xpsval 14493 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  T  =  ( `' F  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
5648, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 1xpslem 14494 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ran  F  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
5753xpsff1o2 14492 . . . . 5  |-  F :
( X  X.  Y
)
-1-1-onto-> ran  F
58 f1ocnv 5641 . . . . 5  |-  ( F : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  F  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
5957, 58mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
60 f1ofo 5636 . . . 4  |-  ( `' F : ran  F -1-1-onto-> ( X  X.  Y )  ->  `' F : ran  F -onto->
( X  X.  Y
) )
6159, 60syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' F : ran  F -onto-> ( X  X.  Y ) )
62 ovex 6105 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
6362a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  _V )
64 xpstopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  T )
6555, 56, 61, 63, 7, 64imastopn 19135 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( ( TopOpen `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) qTop  `' F
) )
6649, 25istps 18383 . . . . 5  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6751, 66sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6850, 38istps 18383 . . . . 5  |-  ( S  e.  TopSp 
<->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6952, 68sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
7053, 67, 69xpstopnlem1 19224 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  F  e.  ( ( J  tX  K ) Homeo ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) ) ) )
71 hmeocnv 19177 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  K ) Homeo (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) )  ->  `' F  e.  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) )
Homeo ( J  tX  K
) ) )
72 hmeoqtop 19190 . . 3  |-  ( `' F  e.  ( (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) Homeo ( J  tX  K ) )  ->  ( J  tX  K )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
7370, 71, 723syl 20 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ( J  tX  K )  =  ( ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) qTop  `' F ) )
7447, 65, 733eqtr4d 2475 1  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( J  tX  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962   (/)c0 3625   {csn 3865   {cpr 3867   Oncon0 4706    X. cxp 4825   `'ccnv 4826   ran crn 4828    o. ccom 4831    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082   1oc1o 6901   2oc2o 6902    +c ccda 8324   Basecbs 14157  Scalarcsca 14224   TopOpenctopn 14343   Xt_cpt 14360   X_scprds 14367   qTop cqtop 14424    X.s cxps 14427  TopOnctopon 18341   TopSpctps 18343    tX ctx 18975   Homeochmeo 19168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-sup 7679  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-tx 18977  df-hmeo 19170
This theorem is referenced by:  xpstopn  19227
  Copyright terms: Public domain W3C validator