Theorem dprdpr 18272

Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdpr.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprdpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdpr.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
dprdpr.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
dprdpr.2	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
dprdpr	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})) = (𝑆 ⊕ 𝑇))

Proof of Theorem dprdpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdpr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		dmdprdpr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		xpscf 16049	. . . 4 ⊢ (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺))
5		1n0 7462	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
6	5	necomi 2836	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1𝑜
7		disjsn2 4193	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
9		df2o3 7460	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
10		df-pr 4128	. . . . 5 ⊢ {∅, 1𝑜} = ({∅} ∪ {1𝑜})
11	9, 10	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜})
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜}))
13		dprdpr.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
14		dprdpr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
15		dprdpr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
16		dmdprdpr.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17		dmdprdpr.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
18	16, 17, 1, 2	dmdprdpr 18271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))
19	14, 15, 18	mpbir2and 959	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}))
20	4, 8, 12, 13, 19	dprdsplit 18270	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})) = ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊕ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))))
21		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) → ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
22	4, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
23		0ex 4718	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
24	23	prid1 4241	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
25	24, 9	eleqtrri 2687	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 2𝑜
26		fnressn 6330	. . . . . . 7 ⊢ ((◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
27	22, 25, 26	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
28		xpsc0 16043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
30	29	opeq2d 4347	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
31	30	sneqd 4137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
32	27, 31	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
33	32	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
34		dprdsn 18258	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
35	23, 1, 34	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
36	35	simprd 478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
37	33, 36	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = 𝑆)
38		1on 7454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 ∈ On
39	38	elexi 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ 1𝑜 ∈ V
40	39	prid2 4242	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
41	40, 9	eleqtrri 2687	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ 2𝑜
42		fnressn 6330	. . . . . . 7 ⊢ ((◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜) → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
43	22, 41, 42	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
44		xpsc1 16044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
45	2, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
46	45	opeq2d 4347	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨1𝑜, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩ = ⟨1𝑜, 𝑇⟩)
47	46	sneqd 4137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨1𝑜, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩} = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
48	43, 47	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
49	48	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}))
50		dprdsn 18258	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
51	38, 2, 50	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
52	51	simprd 478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇)
53	49, 52	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = 𝑇)
54	37, 53	oveq12d 6567	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊕ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑆 ⊕ 𝑇))
55	20, 54	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})) = (𝑆 ⊕ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441   +_𝑐 ccda 8872  0_gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  LSSumclsm 17872   DProd cdprd 18215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-dprd 18217

This theorem is referenced by: (None)